Пусть задана некоторая линия γ. Найти работу, которая совершит переменная сила F( x, y ) при перемещении некоторой точки из положения А в положении В по линии γ.
Разобьем линию на бесконечно малые участки точками М1, М2, … , тогда работа силы на всей линии равна сумме работ на каждом участке
Так как отрезки разбиения бесконечно малы, то их условно можно считать прямолинейными отрезками. Кроме того, будем считать, что в пределах каждой ячейки сила не меняется, и она в пределах ячейки определяется вектором в некоторой точке Ci внутри этой ячейки. Работу внутри каждой ячейки приближенно заменим на элементарную работу силы (скалярное произведение силы на вектор перемещения)
Данная сумма называется криволинейной интегральной суммой второго рода.
Предел криволинейной суммы второго рода, при условии стремления к нулю всех участков разбиения, называется криволинейным интегралом второго рода, если он существует, не зависит от разбиения линии и от выбора точек внутри каждой ячейки
Если вектор силы задан своими координатами, которые являются функциями координат точки
то, воспользовавшись формулой скалярного произведения в координатной форме, получим криволинейный интеграл второго рода в координатной форме:
