Свойства определенного интеграла

· Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на отрезке [a,b]. Разобьем данный отрезок на n частичных интервалов. В каждом интервале выберем произвольную точку ξi и составим интегральную сумму ∑i=1nf(ξi)Δxi, где Δxi − длина i-го интервала. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы (суммы Римана) при стремлении максимальной длины частичного интервала к нулю. ∫abf(x)dx=limn→∞maxΔxi→0∑i=1nf(ξi)Δxi,гдеΔxi=xi−xi−1,xi−1≤ξi≤xi.

·

· Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:
∫ab1dx=b−a

· Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx

· Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:
∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx

· Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:
∫ab[f(x)−g(x)]dx=∫abf(x)dx−∫abg(x)dx

· Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:
∫aaf(x)dx=0

· При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:
∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx

· Пусть точка c принадлежит отрезку [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b] равен сумме интегралов на частичных промежутках [a,c] и [c,b]:
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx

· Определенный интеграл от неотрицательной функции всегда больше или равен нулю:
∫abf(x)dx≥0еслиf(x)≥0на[a,b].

· Определенный интеграл от неположительной функции всегда меньше или равен нулю:
∫abf(x)dx≤0еслиf(x)≤0на[a,b].

· Формула Ньютона-Лейбница
∫abf(x)dx=F(x)|ba=F(b)−F(a),еслиF′(x)=f(x).

· Метод подстановки для определенного интеграла
Если x=g(t), то ∫abf(x)dx=∫cdf(g(t))g′(t)dt, где c=g−1(a), d=g−1(b).

· Интегрирование по частям
∫abudv=(uv)|ba−∫abvdu

· Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций
∫abf(x)dx=b−a2n[f(x0)+f(xn)+2∑i=1n−1f(xi)]

·

· Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона (метод парабол)
∫abf(x)dx=b−a3n[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+2f(x4)+…+4f(xn−1)+f(xn)],
где xi=a+b−ani, i=0,1,2,…,n.

·

· · Площадь криволинейной трапеции
S=∫abf(x)dx=F(b)−F(a), где F′(x)=f(x).

·

· · Площадь между двумя кривыми
S=∫ab[f(x)−g(x)]dx=F(b)−G(b)−F(a)+G(a), где F′(x)=f(x), G′(x)=g(x).

·

· Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

1.

Рис.1		Рис.2

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой