В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются .
Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.
Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и бесконечно дифференцируемые в области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках , а котангенс и косеканс — в точках . Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.
Определение тригонометрических функций для острых углов[править | править вики-текст]
Рис. 4 Тригонометрические функции острого угла
В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[2]. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:
· Синусом угла называется отношение (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
· Косинусом угла называется отношение (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
· Тангенсом угла называется отношение (отношение противолежащего катета к прилежащему).
· Котангенсом угла называется отношение (отношение прилежащего катета к противолежащему).
· Секансом угла называется отношение (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
· Косекансом угла называется отношение (отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Построив систему координат с началом в точке , направлением оси абсцисс вдоль и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).
Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и для тангенса и котангенса. Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.
углов[показать]
Свойства тригонометрических функций[править | править вики-текст]
Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:
Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:
Непрерывность[править | править вики-текст]
Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс —
Чётность[править | править вики-текст]
Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:
7.
тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).
8.
Функция y=sinx определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом 2π.
График этой функции можно построить таким же способом, как и график функции y=cosx, начиная с построения, например, на отрезке [0;π].
Однако проще применить формулу sinx=cos(x−π2), которая показывает, что график функции y=sinx можно получить сдвигом графика функции y=cosx вдоль оси абсцисс вправо на π2
График функции y=sinx
Кривая, являющаяся графиком функцииy=sinx, называется синусоидой.
Свойства функции y=sinx
1. Область определения - множество R всех действительных чисел.
2. Множество значений - отрезок [−1;1]
3. Функция y=sinx периодическая с периодом T=2π
4. Функция y=sinx- нечётная.
5. Функция y=sinx принимает: - значение, равное 0, при x=πn,n∈Z - наибольшее значение, равное 1, при x=π2+2πn,n∈Z - наименьшее значение, равное −1, при x=−π2+2πn,n∈Z - положительные значения на интервале (0;π) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z
- отрицательные значения на интервале (π;2π) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z
6. Функция y=sinx
- возрастает на отрезке
[−π2;π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z - убывает на отрезке
[π2;3π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z
9.
Функция y=cosx определена на всей числовой прямой и множеством её значений является отрезок [−1;1]
Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y=−1 и y=1
Так как функция y=cosx периодическая с периодом 2π, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π, например на отрезке −π≤x≤π, тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn,n∈Z, график будет таким же.
Функция y=cosx является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Oy.
Для построения графика на отрезке −π≤x≤π достаточно построить его для 0≤x≤π, а затем симметрично отразить его относительно оси Oy.
Найдём несколько точек, принадлежащих графику на этом отрезке 0≤x≤π cos0=1;cosπ6=3√2;cosπ4=2√2;cosπ3=12;cosπ2=0;cosπ=−1
Итак, график функции y=cosx построен на всей числовой прямой.
Свойства функции y=cosx
1. Область определения - множество R всех действительных чисел
2. Множество значений - отрезок [−1;1]
3. Функция y=cosx периодическая с периодом 2π
4. Функция y=cosx - чётная
5. Функция y=cosx принимает:
- значение, равное 0, при x=π2+πn,n∈Z;
- наибольшее значение, равное 1, при x=2πn,n∈Z
- наименьшее значение, равное −1, при x=π+2πn,n∈Z
- положительные значения на интервале (−π2;π2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z
- отрицательные значения на интервале (π2;3π2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z
6. Функция y=cosx
- возрастает на отрезке [π;2π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z
- убывает на отрезке [0;π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z
11.,
Определения обратных тригонометрических функций
Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x, при заданном \;y\; (-1\leqslant y \leqslant 1)\;, имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности sin, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Например, если для синуса y = sin x, если ограничить аргумент x интервалом -\frac{\pi}2 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}2, то на этом интервле функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y.
Арксинус ( y = arcsin x ) это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения -1 \leqslant x \leqslant 1 и множество значений -\frac{\pi}2 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}2.
Арккосинус ( y = arccos x ) это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения -1 \leqslant x \leqslant 1 и множество значений 0 \leqslant y \leqslant \pi.
Арктангенс ( y = arctg x ) это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения -\infty < x < +\infty и множество значений -\frac{\pi}2 < y < \frac{\pi}2.
Арккотангенс ( y = arcctg x ) это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения -\infty < x < +\infty и множество значений 0 < y < \pi.
)
)
.
, а котангенс и косеканс — в точках 
.
называется отношение 
(отношение противолежащего катета к гипотенузе).
(отношение прилежащего катета к гипотенузе).
(отношение противолежащего катета к прилежащему).
(отношение прилежащего катета к противолежащему).
(отношение гипотенузы к прилежащему катету).
(отношение гипотенузы к противолежащему катету).
, направлением оси абсцисс вдоль 
и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и 
для тангенса и котангенса.
котангенс и косеканс — 
