ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Аналогом понятия угла на плоскости является понятие двугран­ного угла в пространстве.

В стереометрии считают, что любая плоскость разбивает про­странство на два полупространства. Это означает, чтр если две точ­ки принадлежат разным полупространствам относительно данной плоскости, то отрезок, соединяющий эти точки, пересекается с плоскостью. Если две точки принадлежат одному полупростран­ству, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с плос­костью (рис. 24.2).

Две полуплоскости с обшей границей разбивают пространство также на две части. Фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей и одной из частей пространства, ограниченной этими полуплоскостями, называется двугранным углом (рис. 24.3). Полуплоскости, ограничивающие двугранный угол, называются гранями двугранного ума, а общая для граней прямая (г раница по­луплоскостей) называется ребром двугранного угла. Точки двугран­ного угла, не лежащие на его гранях, называются внутренними.

За величину двугранного угла принимают величину его линей­ного угла — угла, который образуется при пересечении двугран­ного угла плоскостью, перпендикулярной ребру двуг ранного угла. На рис. 24.3 угол с вершиной М — линейный угол данного дву­гранного угла.

Величина двугранного угла, как правило, не превосходит 180°.

Кроме двугранных углов в стереометрии рассматривают много­гранные углы; трехгранные, четырехгранные и вообще п-гранные.

Трехгранный угол — это часть пространства, ограниченная тре­мя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторо­нами, не лежащими в одной плоскости. На рис. 24.4 изображен трехгранный угол ОАВС. который ограничен плоскими углами АОВ, ВОС и СОА. Эти углы называются плоскими углами трехгран­ного угла или гранями трехгранного угла. Углы между гранями — это двугранные углы трехгранного угла; лучи ОА, ОВ и ОС — ребра трехгранного угла; точка О — вершина трехгранного угла. Грани трехгранного угла образуют его поверх­ность.

Аналогично определяется многогран­ный угол, содержащий более трех граней. Но если любой трехгранный угол являет­ся выпуклым, то четырехгранные углы могут быть как выпуклыми, так и невы­пуклыми.

Доказано, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Это свойство многогранного угла имеет простой наглядный смысл. Пусть ОАВСD — четырехгранный выпуклый угол (рис. 24.5, а). Раз­режем одно его ребро до вершины и развернем полученную фигу­ру на плоскости (рис. 24.5, б). Тогда она накроет ггс всю плоскость, а только ее часть. Дело в том, что если мы хотим из листа бумаги получить многогранный угол, в нем (листе бумаги) надо вырезать угол с вершиной в точке О.