Двойной интеграл.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определение. Пусть f(x; у),(х,y) ∈ D - произвольная функция на D. Разобьем область D произвольным образом на части ∆σ₁, ∆σ₂,..., ∆σ_n.Их площади обозначим соответственно ∆S₁, ∆S₂,..., ∆S_n. Внутри каждой ∆σ_iпроизвольно выберем точку M_i(ξ_i ; η_i )и составим интегральную сумму:

Если существует предел:

интегральной суммы, причем, этот предел не зависит от способов разбиения D на части ∆σ₁, ∆σ₂,..., ∆σ_n, а также от произвола в выборе точек M_i( ; ), то этот предел ции и обозначается

При этом функция называется интегрируемой по области D.

1. Геометрический смысл двойного интеграла.
Если z = - положительна на D, то интеграл равен объему цилиндрического тела:

Имеет место формула которая показывает, что порядок интегрирования можно менять.

Пример 1.

интегрирования и вычислить его для заданной функции.

Решение:Прежде всего, исходя из пределов интегрирования заданного повторного интеграла, опишем область интегрирования Ω - внешний интеграл задает изменение переменной х : 0 х 2, в свою очередь, внутренний задает пределы изменения переменной у :0 y 2х.

Первое из двойных неравенств: 0 х 2 показывает, что область Ω полностью лежит в вертикальной полосе:

Второе неравенство 0 y 2х означает, что рассматриваемая область Ω расположена между графиками двух прямых у = 0 и у = 2х. Таким образом, Ω представляет из себя треугольник ОАВ, одна из сторон которого лежит на оси Ох, другая на прямой х = 2, а третья на прямой у= 2х:

Эта область может быть описана как элементарная относительно оси Ох :

Ω ={ (х, y):0 х 2, 0 y 2х }

Для того чтобы поменять пределы интегрирования, опишем область Ω как элементарную относительно оси Оу. Для этого спроектируем наш треугольник на ось Оу, получим отрезок - [0; 4], откуда заключаем, что у в области Ω изменяется от 0 до 4. Теперь зафиксируем любое значение у₀ из этого промежутка и выясним при каких х точки (х, у₀) лежат внутри области Ω. Посмотрев на рис.2., видим, что эти точки образуют отрезок с началом в точке, лежащей на прямой у = 2х и концом в точке, лежащей на прямой х = 2, т.е. при всяком у [0; 4] переменная х изменяется от относительно оси Ох:

Ω=

Теперь, используя это представление, изменим порядок интегрирования в заданном интеграле

Вычислим заданный интеграл непосредственно:

Пример 2.Изменив порядок интегрирования в данном выражении, записать результат в виде одного повторного интеграла:

Решение:Восстановим Ω₁- область интегрирования первого слагаемого данной суммы:0 , 0 изобразим эту область:

На рисунке представлена искомая область - треугольник ABC .

Опишем область Ω₁ как область, элементарную относительно оси Оy: Ω₁={(x,y), }.

Изменим порядок интегрирования в первом из интегралов заданной суммы.

Аналогично восстановим Ω₂- область интегрирования второго слагаемого данной суммы:

, изобразим эту область.

Опишем область Ω₂ - треугольник BCD как область, элементарную относительно оси Оy: Ω₂=

Изменим порядок интегрирования во втором интеграле заданной суммы.

Таким образом, мы, изменив порядок интегрирования в обоих слагаемых заданного выражения, преобразовали его к сумме интегралов, в каждом из которых интегрирование во внешнем интеграле ведется от 0 до 1. Пусть g₁(y) и g₂(у) -соответствующие внутренние интегралы.

Эти интегралы можно сложить:

Применив эту формулу, будем иметь

Интегралы в скобках можно сложить

Окончательно получаем

Пример 3. Измерить порядок интегрирования в интеграле

Решение. В рассматриваемом примере следует начинать с построения области интегрирования, поскольку интегралы заданы с указанием порядка интегрирования и пределов по соответствующим переменным. Напомним, что переменные пределы интегрирования внутреннего интеграла являются границами изменения x при фиксированном y. Поэтому область интегрирования G₁ для первого интеграла можно задать неравенствами где и представляют собой дуги параболы лежащие ниже оси Ox.

Область интегрирования во втором интеграле имеет вид: где кривые и представляют собой дуги параболы и дугу окружности лежащие выше оси Ox.

Пусть G = G₁UG₂. Тогда каждая прямая x = const, пересекает множество G по отрезку с концами и

Следовательно, область G можно представить в виде

А, значит,

Заметим, что перемена порядка интегрирования в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.

Пример 4. Перейти от двойного интеграла к повторному по области G, заданной неравенствами x + y 1, y - x 1, y 0 .