Решение дифференциальных уравнений – команда dsolve

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (систем уравнений) MATLAB имеет команду

r = dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v').

Она возвращает аналитическое решение дифференциальных уравнений eq1, eq2,..., использующих v как независимую переменную, с граничными и (или) начальными условиями cond1, cond2,... . По умолчанию независимой переменной считается переменная t, обычно обозначающая время. Если в выражениях eqI (condI) не используется знак равенства, то полагается, что eqI (condI) = 0.

Символ D обозначает производную по независимой переменной, то есть d/dt, при этом D2 означает d²/dt² и т. д. Имя независимой переменной не должно начинаться с буквы D.

Начальные условия задаются в виде равенств 'y(a) = b' или 'Dy(a) = b' , где у – зависимая переменная, a и b – константы, которые могут быть и символьными. Могут быть символьными и константы в уравнениях. Если число начальных условий меньше порядка уравнения, то в решении будут присутствовать произвольные постоянные C1,C2 и т. д. Формы вывода результата такие же, как и для команды solve. Справку по dsolve можно получить, введя команду doc dsolve.

Пример:

Решить дифференциальные уравнения

1) x'' = -2x', 2) y'' = -ax+y', y(0) = b, 3) y⁽⁴⁾ - y = 5e^xsinx+x⁴, 4) y''+4y'+3y = cost, y(0) = 1, y'(0) = 0.

Решения 3 - го и 4 - го уравнений проверить подстановкой.

Решение:

>> dsolve('D2x=-2*x')

ans =

C1*cos(2^(1/2)*t)+C2*sin(2^(1/2)*t)

>> dsolve('D2y=-a*x+y','y(0)=b','x')

ans =

a*x+C1*sinh(x)+b*cosh(x)

>> syms x

>> S=dsolve('D4y-y-5*exp(x)*sin(x)-x^4','x');

>> [R]=simple(S)

R =

-24-x^4-exp(x)*sin(x)+C1*exp(x)+C2*sin(x)+C3*cos(x)+C4*exp(-x)

Проверка 3-го решения:

>> diff(R,x,4)-R-5*exp(x)*sin(x)-x^4

ans =

>> S=dsolve('D2y+4*Dy+3*y=cos(t)','y(0)=1','Dy(0)=0','t')

S =

1/10*cos(t)+1/5*sin(t)-7/20*exp(-3*t)+5/4*exp(-t)

Проверка 4-го решения:

>> syms t

>> diff(S,t,2)+4*diff(S,t)+3*S

ans =

cos(t)

Проверка выполнения начальных условий 4 - го решения:

>> subs(S,t,0)

ans =

>> subs(diff(S,t),t,0)

ans =

Пример:

Решить систему линейных дифференциальных уравнений

Решение:

>> S=dsolve('Dx = y', 'Dy = -x')

S =

x: [1x1 sym]

y: [1x1 sym]

>> disp([S.x, S.y ])

[ cos(t)*C1+sin(t)*C2, -sin(t)*C1+cos(t)*C2]

Пример:

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями и проверить решение

Решение:

>> S=dsolve('Dx = y', 'Dy = -x','x(0)=1','y(0)=2')

S =

x: [1x1 sym]

y: [1x1 sym]

>> disp([S.x S.y])

[ cos(t)+2*sin(t), -sin(t)+2*cos(t)]

Получено решение:x = cost+2sint, y = -sint+2cost.

Проверка решения:

syms t

>> diff(S.x,t)-S.y

ans =

>> diff(S.y,t)+S.x

ans =

Проверка выполнения начальных условий:

>> subs(S.x,t,0)

ans =

>> subs(S.y,t,0)

ans =

Команда dsolve не позволяет получить аналитическое решение дифференциального уравнения произвольного вида.

Пример:

Найти аналитическое решение уравнения Ван-дер-Поля

y'' - (1 - y²)y'+y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 0.

Решение:

Обращение к dsolve выдает сообщение о том, что решение не найдено:

>> dsolve('D2y-(1-y^2)*Dy+y=0','y(0)=2','Dy(0)=0')

ans =

[ empty sym ]

В некоторых случаях dsolve возвращает решение, выраженное через специальные функции.

Пример:

Найти аналитическое решение уравнения Бесселя x²y''+xy'+(x² - v²)y = 0.

Решение:

>> dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-v^2)*y=0','x')

ans =

C1*besselj(v,x)+C2*bessely(v,x)

Решение выражается через функции Бесселя. Информацию о функциях Бесселя можно получить с помощью команды doc besselj.