Создадим файл-функцию myfun, вычисляющую значение функции lnx - x+3 при заданном значении аргумента x:
function y=myfun(x)
y=log(x)-x+3;
Перед нахождением корней построим график исследуемой функции командой fplot и нанесем сетку (рис. 6.1):
>> fplot ('myfun',[0,5])
grid
Рис. 6.1
Пояснения на графике нанесены средствами MATLAB. На графике видно, что функция на этом отрезке имеет два корня, расположенные вблизи 0,1 и 4,5. Уточним значение второго корня при помощи fzero:
>> x2=fzero('myfun',4.5)
x2 =
4.5052
Итак, приближенное значение второго корня равно х2 = 4,5052. Вместо начального приближения 4,5 вторым параметром fzero можно задать интервал [4;5], на котором следует найти корень:
>> x2=fzero('myfun',[4,5])
x2 =
4.5052
Отметим, что на границах указываемого интервала функция должна принимать значения разных знаков, иначе выдается сообщение об ошибке.
Получить приближенное значение корня и значение функции в этой точке позволяет вызов fzero с двумя выходными аргументами:
>> [x2,f]=fzero('myfun',[4,5])
x2 =
4.5052
f =
-4.4409e-016
То, что значение функции близко к нулю, вообще говоря, не означает, что приближенное значение корня расположено достаточно близко к его точному значению.
Для того, чтобы увидеть больше значащих цифр корня х2, установим формат long и выведем х2 еще раз (точность вычислений не зависит от формата вывода результата):
>> format long
>> x2
x2 =
4.50524149579288
Найдем корень х1, расположенный около 0,1:
>> format long
>> x1=fzero('myfun',.1)
x1 =
0.05246909745771
Возникает вопрос, сколько в ответе точных значащих цифр, т. е. с какой точностью найдено решение? Задание точности вычислений обсуждается ниже в разделах 6.4, 6.5.
Важной особенностью fzero является то, что она вычисляет только те корни, в которых функция меняет знак, а не касается оси абсцисс. Найти корень уравнения x2 = 0 при помощи fzero нельзя (получим сообщение об ошибке).
Многомерным аналогом fzero является команда fsolve, предназначенная для решения системы нелинейных уравнений F(X) = 0. Одна из модификаций fsolve имеет вид fsolve('file', x0). Здесь
file – имя файл-функции, вычисляющей вектор-столбец левых частей системы уравнений,
x0 – вектор-столбец начальных приближений.
Первый входной аргумент можно задать как указатель на файл-функцию @»file.
Пример:
Решить cистему нелинейных уравнений
Решение:
Возникают вопросы:
1) имеет ли система вещественные решения?;
2) если вещественные решения есть, то как определить их начальные приближения?
Т. к. система имеет второй порядок, то ответ на эти вопросы легко найти графическим способом. С помощью команды ezplot (см. разд. 7.16), cтроим совместно графики парабол x2+y=3 и y2+x=2 на рис. 6.2:
>> ezplot('x^2+y-3')
>> hold
Current plot held
>> ezplot('x+y^2-2')
>> grid
Рис. 6.2
Как видно на рис. 6.2 система имеет 4 вещественных решения (количество точек пересечения графиков), а одно из них имеет начальное приближение (-1;2). Уточним его с помощью команды fsolve.
Создадим файл-функцию mfun2, вычисляющую вектор-столбец левых частей системы уравнений:
function F=mfun2(x)
F=[x(1)^2+x(2)-3;x(2)^2+x(1)-2];
Программа и результаты решения системы уравнений имеют вид:
>> x0=[-1;2];
>> X=fsolve('mfun2',x0)
X =
-1.1117
1.7640
Получить одновременно приближенное решение и значения левых частей системы уравнений (функций x2+y - 3 и y2+x - 2) при подстановке в них этого решения позволяет вызов fsolve с двумя выходными аргументами:
>> [X,f]=fsolve(@mfun2,x0)
X =
-1.1117
1.7640
f =
1.0e-008 *
0.0445
0.2242
Таким образом, (x;y)=(-1,1117;1,7640) – одно из приближенных вещественных решений системы. Изменяя стартовые значения (согласно рис. 6.2), можно найти и остальные вещественные решения.
Пример:
Решить cистему уравнений третьего порядка
Решение:
Для такой системы нельзя найти области начальных приближений графическим способом. Создадим файл-функцию mfun3, вычисляющую вектор-столбец левых частей системы уравнений:
Для произвольного стартового значения решения (-1;0;0) программа и результаты решения системы уравнений имеют вид:
>> x0=[-1;0;0];
>> [X,f]=fsolve('mfun3',x0)
X =
-1.0880
-0.1303
0.0161
f =
1.0e-007 *
0.3447
-0.2521
0.2590
Итак, (x;y;z)=(-1,0880; -0,1303; 0,0161) – одно из приближенных вещественных решений системы. Изменяя стартовые значения, можно попытаться найти и другие вещественные решения этой системы.
Команда fsolve имеет и другие модификации, о которых можно узнать с помощью команды doc fsolve.
Команда fsolve также применима для решения одного нелинейного уравнения. В этом случае ее первый аргумент задает скалярную функцию, а вектор x0 – совокупность начальных приближений. Например:
>> fsolve(@sin,[0:3:12])
ans =
0 3.1416 6.2832 9.4248 12.5664
дает совокупность решений уравнения sin(x) = 0, наиболее близких к соответственным стартовым точкам массива х0.
При решении используется оптимизационный алгоритм, осуществляющий минимизацию невязки F(X). Поэтому команда fsolve способна найти нули, в том числе и таких функций, как x2и .
Существенный недостаток команд fzero и fsolve состоит в том, что они не определяют комплексных решений уравнений и систем уравнений. Команда solve пакета Symbolic дополняет эти команды. С ее помощью в разделе 7.13 будут найдены другие решения рассмотренных выше систем уравнений, в том числе и комплексные.
