Деякі методи числового розв’язування диференційних рівнянь.

Розв’язування диференційного рівняння вигляду

dx(t)/dt=F(x,t) (1)

полягає у знаходженні такої функції x(t), похідна якої задовільняла би тотожності (1), причому сама функція при заданому значенні аргументу t_o приймає початкове значення x_o (задача Коші):

x(t_o)=x_o. (2)

Якщо функція F(x,t) не містить явної залежності від аргументу t, тобто F(x,t)=F(x), то рівняння (1) називається автономним. У разі, коли інтеграл òF(x,t)dt може бути виражений через елементарні функції, задача Коші розв’язується аналітично і числові методи зводяться до табулювання або графічного відображення відомої функції x(t). Але аналітичний розв’язок задачі Коші неможливий у багатьох практично важливих випадках, коли F(x,t) містить нелінійні (зокрема трансцендентні) функції та їх комбінації. У цьому випадку застосовується наближене числове інтегрування рівняння (1), яке полягає у такому:

1. Вибирають крок h зміни незалежної змінної t. Це дозволяє перейти від розгляду неперервої функції x(t) до розгдяду дискретної послідовності значень цієї функції x_i. Крок h може бути змінним.

2. Вибирають рекурентну формулу, за якою розраховують наступне значення функції x_i+1 через відоме попереднє x_i+1=f(x_i,t_i). Методи числового розв’язування диференційних рівнянь відрізняються виглядом цієї рекурентної формули. Деякі з них використовують не одне, а декілька відомих попередніх значень (x_i, x_i-1, x_i-2,¼).

3. За допомогою циклічного використання рекурентної формули визначаються всі необхідні значення x_i при відповідних значеннях аргументу t_i.

Числові методи дозволяють знаходити лише частинні розв’язки диференційних рівнянь при заданих початкових умовах. Найпростішим і найменш точним числовим методом розв’язування диференційних рівнянь є метод Ейлера першого порядку. Для автономних рівнянь цей метод реалізується рекурентною формулою

. (5)

Наприклад, для рівняння dx/dt=F(x)=3×x², x(t₀)=0 ітераційна формула буде мати такий вигляд:

x_i+1=x_i+h×3x_i², x₀=0.

Метод трапецій - одна з модифікацій методу Ейлера другого порядку. Він реалізується застосуванням на кожному кроці формули

x_i+1=x_i+(k₁+k₂)h/2, (6)

де k₁=F(x_i), k₂=F(x_i+hk₁).