Решение

Определим символьные переменные и создадим функцию:

>> syms x y f r fi1

>> f='(x^2+y^2)^3=16*x^2'

f =

(x^2+y^2)^3=16*x^2

Поскольку переменная fi уже зарезервирована в системе, крайне не рекомендуется создавать новую переменную с таким же именем. Поэтому для перехода к полярным координатам используется символьная переменная fi1.

Построим область, ограниченную линией, определяемой неявной функцией , с помощью инструмента ezplot:

>> ezplot(f,[-2.5,2.5,-2,2])

Рис. 4. Линия, ограничивающая область интегрирования D

Перейдем к полярным координатам, сделав замену и выразив r через :

>> S=subs(f,{x,y},{r*cos(fi1),r*sin(fi1)})

S =

(r^2*cos(fi1)^2 + r^2*sin(fi1)^2)^3 == 16*r^2*cos(fi1)^2

>> S=solve(S,r)

S =

((16*cos(fi1)^2)/(cos(fi1)^6 + sin(fi1)^6 + 3*cos(fi1)^2*sin(fi1)^4 + 3*cos(fi1)^4*sin(fi1)^2))^(1/4)

-((16*cos(fi1)^2)/(cos(fi1)^6 + sin(fi1)^6 + 3*cos(fi1)^2*sin(fi1)^4 + 3*cos(fi1)^4*sin(fi1)^2))^(1/4)

((16*cos(fi1)^2)/(cos(fi1)^6 + sin(fi1)^6 + 3*cos(fi1)^2*sin(fi1)^4 + 3*cos(fi1)^4*sin(fi1)^2))^(1/4)*i

-((16*cos(fi1)^2)/(cos(fi1)^6 + sin(fi1)^6 + 3*cos(fi1)^2*sin(fi1)^4 + 3*cos(fi1)^4*sin(fi1)^2))^(1/4)*i

Так как нулевые и отрицательные решения не подходят, т.к. радиус-вектор r не может быть отрицательным, то оставляем только третье решение:

>> S=S(3)

S =

(16*cos(fi1)^2)/(cos(fi1)^6 + sin(fi1)^6 + 3*cos(fi1)^2*sin(fi1)^4 + 3*cos(fi1)^4*sin(fi1)^2))^(1/4)

>> S=simple (S)

S =

2*(cos(fi1)^2)^(1/4)

>> pretty(S)

2 1/4

2 (cos(fi1) )

Теперь ищем площадь области D, ограниченную линией в полярных координатах. При переходе к новой системе координат подынтегральное выражение домножается на якобиан перехода, который в случае полярных координат равняется r:

.

>> int(int(r,r,0,S),fi1,0,2*pi)

ans =