Решение

Создадим символьные переменные

>> syms S1 x y z c z1 c1 c2 z3 z2

Зададим функцию

>> S1='x^2+y^2-2*x*cos(y)-2*y*sin(x)+cos(y)^2-cos(x)^2-3'

Найдем производную первого порядка по переменной x. Воспользуемся функцией diff(S,x,n), которая возвращает значение n-ой производной выражения S по переменной x.

>> z=diff(S1,x,1)

z =

2*x - 2*cos(y) + 2*cos(x)*sin(x) - 2*y*cos(x)

Найдем первую производную первого порядка по переменной y.

>> c=diff(S1,y,1)

c =

2*y - 2*sin(x) - 2*cos(y)*sin(y) + 2*x*sin(y)

С помощью функции fsolve решите систему уравнений и найдите точку в области D, подозрительную на экстремум.

>> v=solve(z,c,0,x,y)

v =

x: [1x1 sym]

y: [1x1 sym]

>> c1=v.x

c1 =

0.76816915673679597746208623955866

>> c2=v.y

c2 =

0.69481969073078756557842007277519

Точка (0.768;0.695) принадлежит области.

Построим графики первых производных:

Найдем вторые производные.

Вторая производная по переменной x:

>> z1=diff(S1,x,2)

z1 =

2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2 + 2*y*sin(x) + 2

Вторая производная по переменной y:

>> z2=diff(S1,y,2)

z2 =

2*sin(y)^2 - 2*cos(y)^2 + 2*x*cos(y) + 2

Смешенная производная.

>> z3=diff(z,y,1)

z3 =

>> syms p o i

Проверим достаточное условие экстремума. Составим детерминант из вторых производных

Если i<0 – экстремума нет.

Если i>0 и z1>0 – локальный минимум.

Если i>0 и z1<0 – локальный максимум.

Если i=0 – минимакс.

Посчитаем вторые производные в точке (с1;c2)

>> p=2*cos(c1)^2-2*sin(c1)^2+2*c2*sin(c1)+2

p =

3.0344511947455454398476890453702

>> o=2*sin(c2)^2 - 2*cos(c2)^2 + 2*c1*cos(c2) + 2

o =

2.8198322932765595503092801406274

Посчитаем детерминант

>> i=p*o-z3*z3

i =

8.556643471315127407035688475144

В нашем случае z1>0 и i>0 следовательно точка (0.768;0.695) – локальный минимум.

Найдем значение функции в этой точке

>> S=sym('S')

S =

S

>> S=c1^2+c2^2-2*c1*cos(c2)-2*c2*sin(c1)+cos(c2)^2-cos(c1)^2-3

S =

-4.0

Вывод

Я ознакомился с возможностями системы компьютерной математики Matlab и получил практические навыки по решению прикладных задач курса высшей математики. Освоил методы решения кратных интегралов, систем нелинейных уравнений и систем дифференциальных уравнений, методы поиска экстремумов функции многих переменных и разложения функций в ряд Тейлора и Маклорена.