Краткие теоретические сведения.

Системы, в которых обеспечивается минимум соответствующей оценки качества, часто называют оптимальными системами управления. В этой работе мы рассмотрим проблему синтеза оптимальной системы, которая описывается переменными состояния. Метод решения задачи основан на измерении переменных состояния и формировании из них управляющего сигнала , оптимизирующего качество системы.

При проектировании реальных систем управления инженеры вынуждены считаться с энергетическими затратами на создание управляющего сигнала, т.е. находить золотую середину между требуемым качеством системы и энергозатратами на управление. Так, в системе управления транспортным средством, работающим на электроэнергии, представляет собой потребление энергии от аккумулятора и поэтому должно быть ограничено, чтобы обеспечить достаточную дальность поездки. Чтобы учесть затраты энергии на выработку управляющего сигнала, мы будем использовать оценку качества в виде:

, (5.1)

где - вектор состояния объекта управления; - управляющее воздействие на объект; - положительно определенная диагональная матрица весовых коэффициентов размерности ; - скалярный весовой коэффициент , который следует выбирать так, чтобы вклад переменных состояния в оценку качества был сопоставим со вкладом в нее второго слагаемого подынтегрального выражения (5.1), учитывающего ограниченные энергетические возможности системы. Как и ранее, управляющее воздействие мы ищем на классе линейных функций:

(5.2)

Оценка (5.1) имеет минимальное значение, если матрица коэффициентов обратной связи по состоянию будет равна:

, (5.3).

где Р - матрица размерности находится из решения алгебраического уравнения Риккати (AER):

, (5.4)

Уравнения (5.3) и (5.4) представляют собой необходимые условия оптимального управления в смысле минимизации функционала (5.1).

Для работы с оптимальным регулятором в Control System Toolbox имеется команда: K=lqr(А,В,Q,r). Для расчета значений коэффициентов веса руководствуйтесь рекомендациями:

(5.5)

Следует отметить немного о решении уравнения Риккати. Представим (5.4) в такой форме:

(5.6)

где - матрица Гамильтона, у неё собственных чисел , из которых - чисел с отрицательной вещественной частью и - чисел с .

Если найти , а к ним собственные вектора , тогда

, (5.7)

где - собственные вектора к собственным числам с .

Умножим (5.106) справа на :

и слева на , получим

. (5.8)

Сравнивая (5. 6) и (5.8), получим

(5.9)