Обратная связь

Рис. 2.5 – Схема моделирования соединения двух подсистем с обратной связью

Тогда в векторно-матричной форме:

Для линейных систем легко показать справедливость следующего результата, называемого принципом суперпозиции: эффект, вызываемый суммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов от нескольких воздействий в отдельности. Закон изменения вектора состояний линейной системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного колебания:

x(t) = x_c(t) + x_в(t).

Свободное движение x_c(t) происходит при отсутствии внешнего воздействия в ненулевых начальных условиях. Оно определяется решением однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению состояний с начальными условиями x(t₀) = x₀.

Вынужденное движение x_в(t) – это реакция системы на внешнее воздействие u(t) при нулевых начальных условиях. Оно определяется решением неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях.

Для многомерных стационарных систем, описываемых уравнениями (2.1), законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по формулам:

где – переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности . В данном случае решение уравнения имеет вид

Одними из важнейших задач теории управления является исследование управляемости и наблюдаемости динамических систем. Приведем соответствующие определения и критерии для стационарных линейных систем, полученные Калманом.

Система называется вполне управляемой, если выбором управляющего воздействия u(t) на интервале времени [t₀, t₁] можно перевести систему из любого начального состояния х(t₀) в произвольное заранее заданное конечное состояние x(t₁).

Система называется вполне наблюдаемой, если по реакции у(t₁) на выходе системы на интервале времени [t₀, t₁] при заданном управляющем воздействии u(t) можно определить начальное состояние х(t₀).

Критерий управляемости линейных систем. Для того чтобы система была вполне управляемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости:

M_U =(В | АВ | А₂В| … | А_n–1В) равнялся размерности вектора состояния: rank M_U = n.

Критерий наблюдаемости линейных систем. Для того чтобы система была вполне наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости:

M_Y =(C^T | A^TC^T | (A^T)²C^T | … | (A^T)^n–1C^T) равнялся размерности вектора состояния: rank M_Y = n.

Напомним, что под рангом матрицы подразумевается наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк.

В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в пространстве состояний. Синтаксис команды, создающий непрерывную LTI (Linear Time Invariant)-систему в виде ss-объекта: SS(A, B, C, D).В эту функцию в качестве параметров передаются матрицы уравнений состояний и выходов вида:

в связи с тем, что рассматривается модель вида (2.1), то матрица динамики D будет нулевой.

Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в таблице 2.1.

Таблица 2.1. Некоторые команды Control System Toolbox

Для получения результатов вычисления матриц, результирующей МІМО - системы, по структурной схеме, воспользуйтесь последними двумя командами. Функция append создает объект sys, представляющий собой объединение всех подсистем. При этом первый входной сигнал первой системы становится входом номер 1, второй входной сигнал первой системы – номер 2, и т.д. далее идут входы второй системы, и т.д.; аналогично определяются и выходы.

В функции connect – параметр <Con> определяет матрицу связей по структурной схеме. Матрица формируется по следующему правилу: каждая строка представляет собой один вход системы sys, первый элемент – номер входа (в соответствии с порядком в команде append), затем идут номера выходов, которые подаются на рассматриваемый вход. Параметры <in>, <out> – строки из номеров входов и выходов соединения, являющиеся внешними.

Например, для последовательного соединения двух систем (рис. 2.2б):

sys1= ss(A1, B1, C1, D1)

sys2= ss(A2, B2, C2, D2)

sys=append (sys1, sys2)

sysc=connect(sys, [2 1], [1], [2])

В этом случае на вход второй системы (общий вход номер 2), поступает выход первой (общий выход номер 1); вход первой системы (номер один) и выход второй системы (номер два) являются внешними.