Краткие теоретические сведения

Модель системы в переменных состояния, можно получить, используя дифференциальные уравнения. Так поступают во многих практических ситуациях. Однако, если путем идентификации системы получена ее модель в виде передаточной функции, то от нее непосредственно можно перейти к уравнениям состояния. Поскольку этот метод обладает рядом преимуществ, рассмотрим его более подробно.

Метод основан на использовании схем моделирования, т.е. структурных схем. Вообще говоря, схема моделирования может быть построена путем использования любого из видов математической модели системы - передаточной функции, дифференциальных уравнений или уравнений состояния. Свое название схемы моделирования получили не случайно, а именно потому, что они представляют собой «заготовку» для исследования системы с помощью компьютеров.

Основным элементом схемы моделирования является интегратор, изображенный на рис. 1.1 в виде отдельного блока.

Рис. 1.1. Интегратор

Он характеризуется уравнением , что при переходе к изображениям по Лапласу дает: . Следовательно, передаточная функция блока, выполняющего операцию интегрирования, равна , как показано на рис. 1.1. Поскольку нас интересует только передаточная функция, то начальное условие для мы, как и раньше, полагаем равным нулю. Если выход интегратора обозначить через , то его входом должна являться производная . Это свойство как раз и используется при построении схем моделирования.

Заметим, что если схема моделирования строится на основе дифференциальных уравнений системы, то решение является однозначным. Однако, если исходные данные представлены в виде передаточной функции, то схема моделирования может иметь различную конфигурацию, т.е. решение уже не будет однозначным. Покажем, как передаточной функции общего вида

(1.1)

можно поставить в соответствие две разных схемы моделирования. На рис. 1.2 изображена схема моделирования, называемая канонической формой управляемости.

Рис.1.2. Каноническая форма управляемости (КФУ)

Поскольку объект n-го порядка, поэтому соединим последовательно n интегрирующих звеньев. Далее пронумеруем справа налево переменные состояния, а интеграторы слева направо (т.е. 1-ый интегратор это в , 2-ой - в и т.д.). Коэффициенты , стоящие в знаменателе изображаем в нижней части, а коэффициенты числителя - вверху.

Из структуры следует:

По схеме запишем уравнения динамики и выхода:

Той же самой передаточной функции (1.1) получим вторую схему моделирования, известную под названием канонической формы наблюдаемости. Эти, новые для нас, термины своим появлением обязаны современной теории управления.

Для КФН используется метод совместного интегрирования, при котором дифференциальное уравнение переписывается так, что в левой части записываются слагаемые, содержащие производные, а в правой части слагаемые без производных. Для левой части вводится новая переменная и этот процесс повторяется n – раз, где n – порядок дифференциального уравнения.

Перейдем от передаточной функции к ДУ:

Водим новую переменную: , тогда

Перенесем производные влево, получим:

Водим новую переменную: , тогда

Перенесем производные влево, получим:

Продолжая, получим:

С учетом этого запишем систему в форме Коши:

;

По этим уравнениям составляем уравнения в векторно-матричной форме:

Структурная схема, соответствующая полученным уравнениям представлена на рис. 2.6.

Рис.1.3. Каноническая форма наблюдаемости (КФН)

Эти две схемы моделирования имеют одну и ту же передаточную функцию. Заметим, что вектор состояния в схеме на рис.1.2 не совпадает с вектором в схеме на рис.1.3. Проанализируйте полученные формы КФУ и КФН. Внутренняя структура модели, т.е. переменные состояния в этих формах различны.

Итак, если по заданной передаточной функции построена схема моделирования, то легко можно получить модель системы в переменных состояния. Эта процедура состоит из двух этапов:

1. Принять выход каждого интегратора за переменную состояния.

2. Записать уравнения относительно входа каждого интегратора и относительно каждого выхода системы.

Поясним эти этапы на примере канонической формы управляемости.

Пример 1.1

Получить КФУ по заданной передаточной функции.

; .