Признаки сходимости несобственных интегралов

Ниже будут сформулированы признаки сходимости и расходимости только для несобственных интегралов второго рода, так как эти признаки аналогичны и для несобственных интегралов первого рода.

Признак сравнения.Пусть и – непрерывные функции, связанные неравенством . Тогда относительно несобственных интегралов

(9)

и

(10)

можно утверждать следующее:

1) если сходится интеграл (10), то сходится и интеграл (9);

2) если расходится интеграл (9), то расходится и интеграл (10).

Пример.

Исследовать на сходимость интеграл .

Решение.

Известно, что , т.к. (для всех ). А интеграл сходится. Значит, сходится и интеграл . Мы не рассмотрели интервал , но на этом интервале функция не имеет особенностей, поэтому поведение функции на этом интервале не влияет на сходимость интеграла.

Предельный признак сравнения.Пусть и – непрерывные функции, и существует конечный предел , т.е. и – эквивалентные функции (при этом пишут ). Тогда несобственные интегралы и с особенностью в точке с: , сходятся или расходятся одновременно.

Пример.

Исследовать на сходимость интеграл .

Решение.

Покажем, что . Действительно

Поскольку интеграл расходится, то расходится и исходный интеграл.

Абсолютная сходимость.Если сходится интеграл , то сходится и . Последний интеграл называется в этом случае абсолютно сходящимся.

Пример.

Исследовать на сходимость .

Решение.

Рассмотрим интеграл . Поскольку то справедливо неравенство . Т.к. сходится, то абсолютно сходится и исходный интеграл, а значит, он сходится в обычном смысле.