Если функции f (х) и q (х) непрерывны на интервале [а; + 
) и удовлетворяют условию 
f (х) 
q(х), то из сходимости интеграла 
(х) dx следует сходимость(х) dx. И наоборот, если расходится
(х)dx, то расходится и(х)dx (без доказательства).
Пример 1. Исследовать интеграл на сходимость
если 
- сходится.
Так как функции 
и 
непрерывны на [1; 
) и
0 < < 
- то по теореме 
- сходится.
Аналогично можно рассмотреть этот признак для несобственных интегралов от разрывных функций. Если функции f (х) и q (х) непрерывны на интервале [а; b) и для всех точек в некоторой окрестности особой точки b выполняются условия
0 f (х) q (х), то из сходимости 
следует сходимость 
, а из расходимости
следует расходимость .
Теорема 2. (критерий Коши). Для сходимости несобственного интеграла (х) dx необходимо и достаточно, чтобы для а любого 
> 0 можно было найти такое число А > 0, что для любых R' и R", больших, чем А, выполняется неравенство:
