Пусть дуга плоской кривой y = f(х) > 0 при
x ∊ [a;b] вращается вокруг оси ОХ.
Найдем площадь получаемой при этом поверхности вращения. Для этого выделим из нашей дуги элемент ds, соответствующий изменению абсциссы от х до
х + dx.
Если принять этот элемент за прямолинейный, то описанная им часть поверхности окажется усеченным конусом, у которого ds служит образующей. Радиусы оснований этого конуса будут y и y + dy .
Из школьного курса мы знаем, что площадь боковой поверхности усеченного конуса с образующей 
и радиусами оснований r и R равна S = 
(r + R) 
. Воспользуемся этой формулой и получим:
Имеем:
Тогда площадь поверхности вращения равна:
Если дуга вращается вокруг оси ОУ, то
.
Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кубической параболы y = 
, заключенной между прямыми
Решение. 1) Построим параболу и прямые:
2) Найдем точки пересечения линий:
3) Данная поверхность вращения состоит из двух равных частей, поэтому 
