Площадь плоской фигуры.

Пусть функция у = f (х) неотрицательна и непрерывна на отрезке [а;b]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла (§ 1) площадь фигуры, заключенной между графиком функции у = f(х), осью ох и b двумя прямыми x = а и х = b, численно равна определенному интегралу . Причем, если

.

В случае, если f(х) < 0 (рис. б), то в формуле (1) имеет место знак «-». В общем случае абсолютная величина выражает искомую площадь, т.е.

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями и

соответственно, непрерывными на отрезке [а;b] (рис. в), то площадь криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных графиками указанных функций

Формула (3) справедлива при любом расположении кривых (рис. г, д), при

условии что, :

Если график функции у = f (х) на интервале [а;b] несколько раз пересекает ось ОХ (рис. е), то необходимо вычислить площади фигур, расположенных выше и ниже оси ОХ и сложить их.

Аналогично можно рассмотреть шесть случаев вычисления площади криволинейной трапеции, прилежащей к оси ОУ.

Например:

Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение: 1) Построим линии и обозначим криволинейную трапецию:

- парабола, смещенная по оси ОУ на единицу вверх. Найдем координаты вершины:

2) Найдем точки пересечения линий (левую и правую границу криволинейной трапеции):

3) Вычислим площадь:

Пример 2: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = и у = х² .

Решение:

1) Построим линии:

2) Найдем точки пересечения линий:

3)Вычислим площадь: