Интеграл от дроби, числитель которой является производной знаменателя, равен логарифму знаменателя.

Пример.

1)

§6. Метод подстановки.

Пусть не является табличным. Следует упростить подынтегральное выражение, введя новую переменную так, чтобы интеграл стал табличным.

, т.е.

После нахождения интеграла необходимо вернуться к первоначальной переменной х.

Пример.

§7. Интегрирование по частям.

Метод интегрирования по частям вызван тем, что нет формулы, позволяющей находить интеграл от произведения функции.

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

- формула интегрирования по частям

Сущность метода: подынтегральное выражение представляют в виде произведения 2-х множителей u и dv, затем пользуются правой частью формулы.

Как правильно выбрать u и dv:

I     II     III	Вид интеграла	u	dv

- многочлен или одночлен.

Замечание:

Интегралы III группы берутся по частям дважды, в результате чего получается исходный интеграл. Интегрирование прекращается, и из полученного выражения находят искомый интеграл, выражая его через все остальные члены.

Пример.

1)

2)

3)

§8. Рациональные функции. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

Определение 1. Рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов. Рациональные функции иначе называются рациональными дробями.