Тема «Производная сложных функций» (практика)

Пусть даны функции и . Первая функция является произведением константы 3 и тригонометрической функции синуса аргумента x. Вторая функция представляет собой тоже синус, но аргумент отличен от x и равен 3x.

Итак, функция, имеющая аргументом независимую переменную x, считается элементарной, если же аргумент отличен от независимой переменной, функцию можно отнести к сложным функциям.

Описать сложную функцию можно примерно так: Функция является сложной, если в ней над аргументом произведено более одного действия, это функция от функции. Представить себе сложную функцию можно, вспомнив, как выглядит матрёшка – обыкновенная матрёшка!

Задание 1. Среди приведенных функций сложными являются:

Чтобы найти производную сложной функции, надо найти производные всех функций, входящих в данную, и их перемножить.

Это правило называют «правилом цепочки». Оно остается справедливым и в том случае, когда сложная функция состоит из любого конечного числа элементарных функций.

Процесс дифференцирования сложной функции, также как и элементарной, распадается на два этапа:

1) Правильный выбор нужной формулы или правила дифференцирования;

2) Применение выбранной формулы к заданной функции.

Важно определить, с какой формулы или с какого правила начать дифференцирование. Верный выбор из всех известных правил и формул определяется последним действием в данной функции.

Последнее действие определяет тип функции и выбор правила или формулы дифференцирования!!!!!!

Порядок выполнения операций следующий:

1) Возведение в степень

2) Деление

3) Умножение

4) Сложение, Вычитание

Учтем лишь, что операции в скобках выполняются в первую очередь.

Примеры на определение последнего действия и на использования первой формулы:

Функции	Решение
1.	Последним действием – возведение в степень, значит, используем формулу , а дальше по цепочке:
2.	Последнее действие – нахождение логарифма,значит формула :
3.	Последнее действие – определение синуса, значит формула , а дальше по цепочке производные (синус→корень→аргумент):
4.	Последнее действие – возведение в степень, значит формула , а дальше по цепочке производные (степень→синус→аргумент):
5.	Последнее действие – показательная функция, значит формула :

Таблица производной сложной функции
формулы	примеры
Чтобы определить ”u” достаточно прикрыть показатель ”a” – все оставшееся дает ”и”	a)
b)
	c)
(Запомним там где синус там и минус)	d)
	e)
	f)
	g)

задания для самостоятельной работы

Задание 1. Найти производные сложных функций нечетные номера (сверьте с ответом):

	Ответы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.

Итак, при дифференцировании следует некоторое выражение мысленно обозначить через «u».Иногда это делается письменно. Но надо знать, что письменно вводить переменную «u» следует лишь короткое время, пока эта привычка не закрепилась.

Домашнее задание

1. Изучить конспект занятия;

2. Выучить наизусть формулы производных сложных функций;

3. Решить в тетрадях четные номера задание 1.