Прямой ход решения СЛАУ методом Гаусса

Рассмотрим СЛАУ

.

Формируем матрицу расширенной системы.

C=[A B]

C =

1 0 4 1

-5 3 -3 1

2 -2 0 1

Находим главный элемент в первом столбце

first=C(1:3,1) % первый столбец (строки с текущей по третью)

[fake,m]=max(abs(first)); % m – индекс главного элемента

ind = m;

Делаем главный элемент диагональным с помощью перестановки строк

r=C(1,:);

C(1,:)=C(ind,:);

C(ind,:)=r

C =

-5 3 -3 1

1 0 4 1

2 -2 0 1

Путем элементарных преобразований над строками (умножение строки на число и сложение строк), получаем нулевые элементы под главной диагональю.

if C(2,1)~=0

mu_21=C(1,1)/C(2,1);

C(2,:)=C(1,:)-mu_21*C(2,:);

end

if C(3,1)~=0

mu_31=C(1,1)/C(3,1);

C(3,:)=C(1,:)-mu_31*C(3,:);

end

C =

-5.0000 3.0000 -3.0000 1.0000

0 3.0000 17.0000 6.0000

0 -2.0000 -3.0000 3.5000

Далее переходим ко второму столбцу.

Находим главный элемент второго столбца путем сравнения элементов из второй и третьей строки и выбора максимального по модулю элемента

second=C(2:3,2) % элементы текущего столбца со второго по третий

[fake,m]=max(abs(second)); % индекс максимального элемента из двух

ind=m+1; % индекс главного элемента во втором столбце матрицы системы

Делаем главный элемент диагональным.

r=C(2,:);

C(2,:)=C(ind,:);

C(ind,:)=r

C =

-5.0000 3.0000 -3.0000 1.0000

0 3.0000 17.0000 6.0000

0 -2.0000 -3.0000 3.5000

Путем элементарных преобразований над строками (умножение строки на число и сложение строк), получаем нулевые элементы под главной диагональю.

if C(3,2)~=0

mu_32=C(2,2)/C(3,2);

C(3,:)=C(2,:)-mu_32*C(3,:);

end

C =

-5.0000 3.0000 -3.0000 1.0000

0 3.0000 17.0000 6.0000

0 0 12.5000 11.2500

Получена верхняя треугольная матрицы. Все элементы главной диагонали отличны от нуля, поэтому матрица системы невырождена.

Прямой ход метода Гаусса закончен.