Задача управления

Для решения задач управления на уровне схемотехнического и функционально-логического моделирования используют математические методы теории автоматического управления. Аппарат теории управления предполагает анализ систем на основании моделей управления, которые представляют собой совокупность дифференциальных уравнений связи между входными воздействиями и базисными переменными системы или ее элементов, которые называются звеньями системы.

Рассмотрим произвольное звено системы, описываемое входным воздействием x(t), выходной фазовой координатой v(t) и внешним возмущением f(t). В общем случае ДУ звена имеет нелинейный вид:

F(x, x' . . . x⁽ⁿ⁾, v,v' . . . v^(m))=j(f, f' . . . f^(l)).

В задачах анализа чаще использую линеаризованные модели звеньев. В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом процессе переменные x и v изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми. Это условие обычно выполняется, поскольку этого требует сама идея целенаправленной устойчивой работы системы. Внешнее возмущение f как правило является случайным и несанкционированным, а следовательно в отношении него предположение о малости отклонений может оказаться несправедливым, поэтому правая часть ДУ звена линеаризации не подлежит. Таким образом, линеаризованные модели являются упрощенными, так как описывают поведение звеньев в отсутствии помех и возмущений. Геометрически линеаризация является заменой реальной нелинейной характеристики системы или звена на линейную.

ПРИМЕР геометрической линеаризации характеристики звена.

Линеаризованные модели управления имеют вид:

Решением данного уравнения для заданного x(t) является переходная характеристика звена.

ПРИМЕРЫ получения моделей с использованием экспериментального и теоретического подходов.

Для упрощения операций преобразования моделей звеньев и систем используют передаточные функции. Передаточной функцией называется отношение изображения по Лапласу выходной величины системы (звена) к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях. Изображением по Лапласу функции f(t) является функция F(p):

где t – независимая переменная; p=d/dt.

Основные свойства изображений имеют вид:

Таким образом, при нулевых начальных условиях, т. е. при f(0)=0, переход от оригинала функции к ее изображению по Лапласу может быть осуществлен формальной заменой дифференцирования на символическое умножение на р, а символа интегрирования – на умножение на 1/р. Передаточная функция, полученная для линеаризованного ДУ имеет вид:

Переход от передаточной функции к ДУ звена осуществляется обратным преобразованием Лапласа [6, 11].

ПРИМЕРЫ взаимного преобразования моделей звеньев.