Решатели диф. уравнений в MatLab (solvers)

Для решения систем ОДУ в MatLAB реализованы различные методы. Их реализации названы решателями ОДУ. Решатели реализуют следующие методы решения систем дифференциальных уравнений:

Все решатели (ode45, ode23, ode133, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb ) могут решать системы уравнений явного вида y’ = F(t, y). Решатели ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb могут решать уравнения неявного вида F(t, y, y’ )= 0.

· ode45 – одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка {начальная пробарешения}. Во многих случаях он дает хорошие результаты;

· ode23 – одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 3-го порядка. При умеренной жесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности этот метод может дать выигрыш в скорости решения;

· ode133 – многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка. Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения;

· ode15s – многошаговый метод переменного порядка (от 1-го до 5-го, по умолчанию 5), использующий формулы численного дифференцирования. Это адаптивный метод, егостоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения;

· ode23s – одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности;

· ode23t – метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результаты прирешении задач, описывающих осцилляторы с почти гармоническим выходным сигналом;

· ode23tb – неявный метод Рунге-Кутта в начале решения и метод, использующий формулы обратного дифференцирования 2-го порядка в последующем. При низкой точности этот метод может оказаться более эффективным, чем ode15s.

Пример:

В М-файле с именем pr7.m пишем:

function f=pr7(x,y)

f=cos(x+y)+(3/2)*(x-y);

end

Потом в командном окне вызываем функцию ode113:

ode113(@pr7,[0 20],0) %Метод Адамса: @pr7 – ссылка на М-функцию, [0 20]- интервалы интегрирования,0 - условие: y(0)=0

Результатом будет график:

Пример:

Необходимо реализовать метод Рунге-Кутта 4 порядка и решить задачу Коши для предложенной системы дифференциальных уравнений:

y₁(0) = 0.1; y₂(0) = 0.5

В М-файле с именем pr8.m пишем:

function dy=pr8(x,y)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=y(2);

dy(2)=((y(1)/x)-y(2))*(1/x)-y(1);

end

Потом в командном окне вызываем функцию ode45:

[x,y]=ode45(@pr8,[1 10], [0.1 0.5]);

plot(x,y,'-k')

grid;

Результатом будет график: