MatLab: решение дифференциальных уравнений

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,y⁽ⁿ⁾(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

или ,

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

,

где — независимые переменные, а — функция этих переменных.

Простой пример решения ДУ в MatLab:

В качестве самого простого примера приведем решение следующего уравнения с начальным условием и аналитическим решением .

Возможный формат вызова процедуры решателя в MatLab:

Снимок экрана, который соответствует численному решению этой задачи в системе MatLab.

Файл-функция, описывающая правую часть уравнения, – текстовый файл с расширением func1.m – содержит всего две строки

Знаком % начинаются комментарии. Вызываться такая функция может из другойпрограммы, функции, или, как в этом случае, из командного окна

Здесь задан временной интервал от Tstart=0 до Tfinal=2 и начальное значение функции StartVector=1. График полученной таким образом функции Y(T) воспроизводится вызовом встроенной функции plot

Следующей строкой мы кружочками нарисовали на том же графике точное решение в точках полученного вектора-столбца T:

В общем случае, процедура ode45 может решать систему уравнений следующего вида:

функция-столбец, зависящая отвремени и компонент вектора x.

Заметим, что уравнение (1) можно решить в MatLab и символьно. Приведем часть командного окна, где была вызвана стандартная процедура dsolve

Здесь также использовано начальное условие.

Видим, что с точностью до переобозначения x → t результат совпадает с приведенным выше.