Первообразная и интеграл

Определение первоóбразной Определение. Функция F(x) называется первоóбразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство: F´(x) = f(x) Пример 1. □ Функция

является первоóбразной для функции

на интервале

, поскольку F´(x) =

. То есть выполняется равенство F´(x) = f(x). ■ Таблица первоóбразных

Функция	Ее первообразная
	x
x







cos x	sin x
sin x	– cos x
	tg x
	– ctg x
	arcsin x
	arctg x

Правила нахождения первоóбразных Правило 1. Если F(x) – первоóбразная для функции f(x), а G(x) – первоóбразная для функции g(x), то F(x) ± G(x) – первоóбразная для функции f(x) ± g(x). Правило 2. Если F(x) – первоóбразная для функции f(x), то kF(x) – первоóбразная для функции kf(x). Пример 2. Найдём первоóбразную функции

. □ Представим исходную функцию в виде:

. Согласно таблице первоóбразных:

Функция	Ее первообразная


sin x	– cos x

Поэтому, применяя правила 1 и 2, получаем, что первоóбразная исходной функции есть

Или в упрощённом виде:

. ■

Основное свойство первоóбразной

Любая первоóбразнаяфункции f(x) на некотором промежутке может быть записана в виде

F(x) + С,

где F(x) – одна из первоóбразных функции f(x) на этом промежутке, а С – произвольная постоянная.

Пример 3. Для функции на интервале найдём первоóбразную, график которой проходит через точку .

□ Как мы уже знаем, любая первоóбразная данной функции имеет вид .

По условию задачи

, значит,

. Таким образом, интересующая нас первоóбразная имеет вид

. ■ Площадь криволинейной трапеции

Если f(x) – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a ; b] функция, а F(x) – её первоóбразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции (см. рис. справа) равна приращению первоóбразной на отрезке [a ; b], то есть S = F(b) – F(a).

Пример 4. Вычислим площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции

, а также прямыми

. □ Для функции

одной из первоóбразных является функция

. Следовательно,

■ Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница Интеграл (определённый) функции f(x) от a до b – это разность F(b) – F(a), где F(x) – произвольная первоóбразная функции f(x). Интеграл обозначается

(читается: “Интеграл от a до b эф от икс дэ икс”). Числа a и b называются пределами интегрирования: a – нижним пределом, b – верхним. Таким образом, согласно определению интеграла справедливо равенство