Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция и ее производная непрерывны при ; 2) множеством значений функции при является отрезок ; 3) , , то справедлива формула

, (3)

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).

На практике часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:

.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно:

.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:

.