Интегрирование рациональных функций

Напомним основные понятия и утверждения, касающиеся рациональных функций.

Определение. Рациональной функцией переменной называется отношение двух многочленов этой переменной: где и – многочлены переменной .

Теорема. Любая рациональная функция с вещественными коэффициентами может быть представлена в виде суммы цело-рациональной функции, (то есть многочлена) и простейших дробно-рациональных функций 1-го и 2-го рода (то есть функций вида , где и – вещественные числа, – натуральное число и , , , – вещественные числа, – натуральное число, причем ).

Согласно этой теореме и свойству линейности неопределенного интеграла, вычисление неопределенного интеграла от рациональной функции с вещественными коэффициентами сводится к вычислению неопределенных интегралов от цело-рациональной функции и от простейших дробно-рациональных функций 1-го рода и 2-го рода.

а) Рассмотрим неопределенный интеграл от цело-рациональной функции

Согласно свойству линейности неопределенного интеграла имеем:

Таким образом, неопределенный интеграл от цело-рациональной функции (многочлена степени ) есть цело-рациональная функция (многочлен степени ).

б) Рассмотрим неопределенный интеграл от простейшей дробно-рациональной функции 1-го рода – натуральное число.

Пусть

Пусть .

в) Рассмотрим неопределенный интеграл от простейшей дробно-рациональной функции 2-го рода: – натуральное, Пусть .

Обозначим: и

Тогда

Рассмотрим

Так как по условию то при .

Поэтому,

Рассмотрим .

Сделаем замену переменной: тогда и

где .

То есть

Итак,

Пусть .

Обозначим и

Тогда

Рассмотрим .

Сделаем замену переменной . Тогда .

Получаем

Итак,

Рассмотрим .

Сделав замену переменной и обозначив , получим

Выведем рекуррентную формулу, которая выражает через

Имеем:

Итак, (*)

Рассмотрим

Этот интеграл вычислим методом интегрирования по частям.

Положим ,

Тогда ,

Значит, то есть .

Возвращаясь к равенству (*), получим:

то есть .

Эта рекуррентная формула позволяет свести вычисление неопределенного интеграла к вычислению неопределенного интеграла , который в свою очередь сводится к вычислению интеграла , и так далее до вычисления неопределенного интеграла .

Итак, при где вычисляется по рекуррентной формуле. После вычисления нужно вернуться к переменной , заменив

Пример. Вычислить .

Это неопределенный интеграл от простейшей дробно-рациональной функции 2-го рода, так как

(**)

Рассмотрим где .

Применим рекуррентную формулу, при :

Для вычисления снова применим рекуррентную формулу, при :

Подставив в предыдущее равенство, получим:

или

где

Таким образом,

Переходя к переменной , получим:

Подставив это выражение в равенство (**) , получим искомый результат.