Метод интегрирования по частям

Идея этого метода состоит в том, чтобы в подынтегральном выражении исходного интеграла выделить ту часть, которую легко проинтегрировать. Метод интегрирования по частям основан на следующей теореме.

Теорема. Пусть - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула

. (5.14)

(4.14) - формула интегрирования по частям в

неопределенном интеграле.

Доказательство. Рассмотрим дифференциал произведения функций и . Имеем . В силу непрерывной дифференцируемости этих функций существуют интегралы от левой и правой частей полученного выражения, то есть

.

По свойству 5 неопределенного интеграла

.

По свойству 2 неопределенного интеграла

,

где С - произвольная постоянная.

Положим С =0. Тогда рассматриваемое выражение примет вид

.

Перенесем первый из интегралов в левую часть. Получим . Или, меняя местами правую и левую части, получим , что и требовалось доказать.

Замечание. Для применения формулы (5.14) необходимо в подынтегральном выражении выделить и , а затем дифференцированием получить , интегрированием получить . Отметим, что поскольку при интегрировании можно брать любую произвольную постоянную, то положим . Тогда .

Рассмотрим типы интегралов, которые берутся только по частям.

I тип где многочлен n-й степени переменной . Если , то интегрирование по частям производится столько раз, какова степень этого многочлена.

II тип .

III тип . В этом интеграле безразлично, какую функцию взять за . В дальнейшем условимся . Тогда, интегрируя по частям два раза, придем к исходному интегралу. Окончательное решение получается алгебраическими преобразованиями.

Примеры. Вычислить интегралы:

.

Решение.Это интеграл I типа. .

Тогда . Используя формулу (5.14), имеем

.

Ответ.

.

Решение. Заданный интеграл I типа, где многочлен имеет степень 2 , следовательно, интегрирование по частям производится два раза.

Ответ.

.

Решение.Это интеграл II типа, для которого . Тогда

. Имеем по (5.14)

Ответ.

.

Решение. Этот интеграл III типа, в котором, как было указано выше, положим . Тогда . Проинтегрируем, используя (5.14). Будем иметь

.

К вновь полученному интегралу применим формулу (5.14), полагая . Тогда .

(5.15)

Очевидно, что, дважды интегрируя по частям, мы пришли к исходному интегралу. Перенесем его в левую часть (5.15)

Окончательно получим

(5.16)

Ответ.

Аналогично можно показать, что (5.17)