НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение. Неопределенным интегралом от функции на называется семейство первообразных, то есть выражение , где - одна из первообразных для функции на , - произвольная постоянная.

Для обозначения неопределенного интеграла вводится символ

, (5.3)

где знак называется интегралом, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования.

Тогда согласно определению можно записать

. (5.4)

Определение. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции .

Пример. Проверить правильность выполнения интегрирования

.

Решение. Дифференцируя результат интегрирования , получаем подынтегральную функцию.

Ответ. Интегрирование выполнено верно.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой семейство непрерывных на и параллельных вдоль оси Oy кривых (рис. 5.1).

Свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть

. (5.5)

Доказательство. С учетом (5.4) имеем

, что и требовалось доказать.

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

. (5.6)

Доказательство. По определению дифференциала и учитывая (5.5), имеем

, что и требовалось доказать.

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, то есть

. (5.7)

Доказательство. Возьмем дифференциалы от обеих частей (5.7) с учетом свойства 2. Имеем

.

Равенство дифференциалов означает справедливость (5.7), что и требовалось доказать.

Замечание. Свойства 2 и 3 выражают взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования, что позволяет из формул и правил дифференцирования получить соответствующие формулы и правила интегрирования.

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

, (5.8)

где a - действительное число, отличное от нуля.

Доказательство. Возьмем производные от обеих частей (5.8) с учетом свойства 1. Имеем

.

Таким образом, функция и функция являются первообразными для одной и той же функции , что и означает справедливость (5.8).

Свойство 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой из функций, то есть

. (5.9)

Доказательство. Возьмем производные от обеих частей (5.9) с учетом свойства 1. Имеем

Таким образом, функция и функция являются первообразными для одной и той же функции , что и означает справедливость (5.9).

Учитывая взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования, можно записать интегралы от простейших функций, которые принято называть табличными. Будем полагать, что переменная интегрирования u есть некоторая функция , то есть .

Таблица основных интегралов

Часть формул этой таблицы непосредственно следует из определения операции интегрирования и таблицы производных. Справедливость остальных соотношений легко проверяется дифференцированием.