Тема: Первообразная. Неопределенный интеграл
При восстановлении функции по ее производной базовым является понятие первообразной.
Определение.Функция 
называется первообразной функцией для функции 
на интервале 
, если дифференцируема на и выполняется условие
. (5.1)
Пример. Проверить, является ли 
первообразной для функции 
:
Решение.По определению первообразной имеем:
есть первообразная для функции 
на 
, так как 
;
есть первообразная для функции 
на 
, так как 
.
Ответ. а) Является на 
; б) является на .
Свойства первообразной.
Свойство 1. Если - первообразная для функции на , то +С (где С - произвольная постоянная) также является первообразной.
Доказательство. С учетом (5.1) имеем 
, что и требовалось доказать.
Свойство 2. Если 
и 
- две первообразные для на , то 
на , где С - некоторая постоянная.
Доказательство. Введем функцию 
и продифференцируем ее с учетом (5.1). Будем иметь 
. Отсюда следует (см. гл. 5), что 
или , что и требовалось доказать.
Следствие. Из свойств 1 и 2 вытекает, что если - первообразная для на , то любая другая первообразная 
для на имеет вид
, (5.2)
где С - некоторая постоянная.
Геометрический смысл первообразной
С геометрической точки зрения первообразная представляет собой непрерывную на кривую. Любая другая первообразная может быть получена путем сдвига этой кривой параллельно самой себе вдоль оси Oy (рис.5.1).
Теорема. Для любой непрерывной на функции для всех 
из существует первообразная.
