Задания для самостоятельной работы

Вычислить интегралы:

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

5. Интегрирование по частям

Пусть функции и дифференцируемы на некотором множестве и пусть на этом множестве существует первообразная для произведения . Тогда на множестве существует первообразная и для функции , причём справедлива формула

.

Так как , а , то формулу интегрирования по частям можно записать в виде:

. (1)

Формула (1) сводит вычисление интеграла к интегралу . Обращаем внимание на то, что часть интеграла в дальнейшем дифференцируется – справа в формуле (1) мы видим выражение . А часть интегрируется – справа фигурирует функция . Если правильно выбрать части, то получим более простой интеграл (во всяком случае, не более сложный).

Перечислим основные группы интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям.

1. К первой группе относятся интегралы вида

Вместо степенной функции подынтегральное выражение может содержать функцию . Здесь постоянные, натуральное число. Такие интегралы вычисляются с помощью -кратного интегрирования по частям. В качестве части , которую предстоит дифференцировать, следует взять (или ), тогда каждый шаг понижает степень на единицу. А интегрирование части - экспоненты, косинуса или синуса – не изменяет характера этой функции.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. В соответствии с рекомендациями будем множитель дифференцировать, т.е. положим , а множитель будем интегрировать: .

Предлагаем следующую форму записи:

Здесь получили результат после первого шага. ▼

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение.

Здесь пришлось дважды интегрировать по частям. ▼

Пример 3.Вычислить интеграл .

Решение.

В этой задаче интегрировать по частям пришлось трижды. ▼

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Конечно, можно получить результат, трижды интегрируя по частям. При этом после первого шага выделится слагаемое с некоторым коэффициентом, после второго шага – слагаемое , затем и, наконец, останется , т.е. в результате получим произведение некоторого многочлена третьей степени на экспоненту :

Из последнего соотношения легко определить коэффициенты Продифференцируем это соотношение:

.

Так как производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции (одно из основных свойств), то получаем

После сокращения на отличный от нуля множитель и приведения подобных членов получаем равенство

.

Но два многочлена равны тогда и только тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях. Значит, приходим к системе уравнений

Задача решена:

▼

2. Ко второй группе относятся интегралы от произведения степенной функции на одну из следующих трансцендентных функций:

Здесь в качестве функции , которая далее дифференцируется, следует выбрать трансцендентную функцию. Интегрирование части затруднений не вызовет.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. В этой задаче нет вариантов в выборе частей – надо дифференцировать множитель , т.е. , тогда :

▼

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. В соответствии с рекомендациями дифференцировать следует часть , а интегрировать – часть :

Здесь дважды интегрировали по частям. ▼

Пример 7.Вычислить интеграл .

Решение.

Пример 8. Вычислить интеграл .

Решение.

Здесь для интеграла воспользовались результатом примера 4 из раздела 3. ▼

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение.

Пример 10. Вычислить интеграл .

Решение. Можно, полагая (а других вариантов здесь нет), интегрировать по частям. Но мы предлагаем сначала сделать замену переменных . Тогда

,

т.е. получили интеграл, вычисленный в предыдущем примере:

.

Осталось вернуться к исходной переменной, заменяя :

= .▼

3. К третьей группе относятся так называемые циклическиеинтегралы. Это прежде всего интегралы вида

Поскольку каждый из множителей в подынтегральной функции одинаково просто и дифференцируется, и интегрируется, части можно выбирать произвольно. При любом выборе частей первый шаг приведет исходный интеграл к интегралу (и наоборот). Еще раз интегрируем по частям, но теперь обязательно надо выбирать части так же, как и первый раз. В результате вновь появится исходный интеграл - цикл завершится. Остаётся решить полученное линейное уравнение относительно .

Пример 11. Вычислить интеграл .

Решение. Начнём с дифференцирования функции и интегрирования функции :

Если обозначим , то можем записать, что

.▼

Пример 12. Вычислить интеграл .

Решение. В этой задаче начнём с дифференцирования функции и интегрирования функции :

Обозначим , тогда

▼

К циклическим относятся также интегралы

.

Пример 13. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь нет вариантов в выборе частей:

Значит, ▼

Возможности применения метода интегрирования по частям не исчерпываются интегралами из перечисленных групп. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 14. Вычислить интеграл .

Решение. Представим числитель в виде и примем тогда вторая часть – функция легко интегрируется заменой . Получаем

▼

Пример 15. Вычислить интеграл .

Решение. Обозначим

,

( ) и покажем, что интеграл можно выразить через интеграл . Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

Первое слагаемое есть . Для вычисления второго интеграла воспользуемся идеей, предложенной в предыдущем примере:

Получили рекуррентное соотношение, связывающее интегралы и :

.

Например, полагая в последней формуле , получим

▼

К интегралам вида которые раньше (см. примеры 4a и 5b раздела 4) вычисляли с помощью тригонометрических подстановок, тоже можно применить метод интегрирования по частям.

Пример 16. Вычислить интеграл .

Решение. Вариантов в выборе частей нет, поэтому

Получили циклический интеграл:

Напомним, что этот же результат можно получить подстановкой (или ). ▼