Замена переменной (подстановка).

Один из сильнейших приёмов для интегрирования функций – метод замены переменной или подстановки - основан на следующем простом замечании:

если известно, что

,

то тогда

.

Это непосредственно вытекает из правила дифференцирования сложной функции

,

если учесть, что .

Обращаем внимание на то, что при выборе подстановки , которая упростит подынтегральное выражение, в составе последнего должен найтись множитель , дающий дифференциал новой переменной.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Произведём подстановку, избавляющую подынтгральную функцию от иррациональности: . Получаем

.

Выделим целую часть, вычислим интегралы и сделаем обратную замену :

В следующих примерах предлагается сокращённая запись.

Пример 2. Вычислить интегралы a) ; b) .

Решение.

a) Если сделать замену , то все корни извлекутся, поэтому

.

b) Если представить подынтегральное выражение в виде

,

то становится очевидной подстановка . Поэтому

.▼

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

.

Теперь вырисовывается подстановка :

.▼

Пример 4. Вычислить интегралы a) , b) .

Решение. a) Разность квадратов под корнем и основное тригонометрическое тождество подсказывают нам тригонометрическую подстановку (или )

.

Остаётся произвести обратную замену:

.

Значит, .▼

Замечание. Мы считаем, что переменная изменяется между –1 и 1, а переменная , поэтому , а . Позже, при вычислении определённых интегралов от таких функций надо будет внимательно следить за пределами изменения переменной.

b) В этом случае квадратный корень извлечется, если сделать замену . Тогда

.

Вернемся к исходной переменной. Т.к. , то

.▼

Пример 5. Вычислить интегралы a) , b) .

Замену переменной в таких интегралах подсказывает тригонометрическое тождество .

Решение.

a)

.

Вернёмся к исходной переменной (по известному тангенсу найдем косинус и синус):

Значит, = .

Позже этот интеграл будет вычислен другим методом.

b) =

.

Здесь при обратной замене по известному косинусу нашли синус: .▼