Рассмотрим пример модели, основанный на дифференциальных уравнениях с учетом баланса вещества и энергии. Известно, что в природе даже при самых благоприятных условиях рост дерева не превышает некоторого предела. Возникает вопрос, почему все деревья, независимо от породы, растут сначала быстро, а затем рост замедляется, пока, наконец, совсем не прекращается?
Интуитивно ясно, что с ростом кроны, с одной стороны, увеличивается приток энергии благодаря фотосинтезу, а с другой – увеличиваются трудности, связанные, например, с транспортировкой питательных веществ по всему объему дерева и, следовательно, увеличивается расход энергии на подобные нужды. В конце концов, притока энергии уже не хватает для покрытия расходов и дерево перестаёт расти.
На основе этих интуитивных соображений можно сформулировать гипотезы и построить модель, а затем исследовать полученное равенство.
Рассмотрим модель, предложенную И. А. Полетаевым. Эта модель основана на следующих упрощающих предположениях:
1. Взрослое растение в процессе роста сохраняет геометрическое подобие. Это значит, что у взрослого растения с ростом не меняются отношения геометрических размеров, например, отношение высоты к диаметру (h/d = const).
2. Свободную энергию (или активное вещество) растение получает только путём фотосинтеза.
3. Свободная энергия расходуется на фотосинтез, на построение живой ткани (рост) и на подъём раствора из почвы.
4. В среднем за большие отрезки времени растение получает постоянное количество света на единицу поверхности кроны (без учёта суточных и сезонных колебаний) и может поглощать необходимые вещества из неограниченного запаса в почве.
Теперь можно составить уравнение баланса.
Пусть х – высота дерева; тогда из предположения 1 площадь поверхности листьев будет пропорциональна х2, а объём растения (например, объем ствола) будет пропорционален величине х3. Понятно, что х изменяется со временем: х = х(t). Постараемся выразить все величины, входящие в уравнение баланса через х. Сначала найдём выражение для поступающей свободной энергии Е. Эта энергия образуется благодаря фотосинтезу. Энергии тем больше, чем больше поверхность зеленой части растения. Таким образом, можно считать, что Е пропорциональна х2. Е=aх2, где a - коэффициент пропорциональности (он зависит от размеров и формы листьев и от интенсивности фотосинтеза, которые считаем постоянными для конкретной породы).
Других источников энергии, в силу предположения 2 нет, и можно проследить за расходом энергии. Часть энергии, прежде всего, тратится на осуществление самого процесса фотосинтеза. Этот расход также пропорционален х2, и его можно представить в виде bх2, где b - коэффициент пропорциональности, меньший a.
Далее энергия расходуется на транспортировку питательного раствора во все части растения. Этот расход будет тем больше, чем больше путей транспортировки, то есть чем больше объём растения. Кроме того, этот расход связан с преодолением силы тяжести и, следовательно, будет тем больше, чем на большую высоту приходится поднимать питательные вещества. Таким образом, этот расход пропорционален как объёму х3, так и высоте х, и можно считать, что он пропорционален их произведению, то есть gх3х.
Наконец, энергия расходуется на увеличение массы растения, то есть на рост. Этот расход пропорционален скорости роста, то есть производной по времени от массы (m = rх3, где r - средняя плотность растения, х3 – объём). Таким образом, последний расход может быть выражен как ,
где δ – коэффициент пропорциональности.
В силу закона сохранения энергии (с учётом высказанных предположений), расход энергии должен быть равен её притоку, и получаем уравнение баланса:
или
(1)
Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение относительно х(t).
Разделив уравнение (1) на выражение 3drх2, которое не может быть равным нулю, и обозначив ;
получим , х(0) ≈ 0 (2)
Так как дерево растёт, производная dx/dt положительна.
Это значит, что a – bx2 > 0, и следовательно, х2 < a/b. Поэтому, интегрируя выражение (2), получаем
откуда
Эта формула даёт кривую роста дерева от времени (рисунок).
x
Если известны a и b (они зависят от породы дерева), то по этой формуле можно определить средний рост дерева данной породы в зависимости от возраста. Проверка модели в реальных экспериментальных ситуациях подтвердила её адекватность. Следовательно, гипотезы, лежащие в ее основе, не противоречат реальности.
Задача.
Максимальная высота деревьев в лесу 50 м. 40‑летние деревья срубают и используют как сырьё для изготовления целлюлозы. Их средняя высота 15 м. Определить коэффициенты а и b (настроить модель).
Схема решения.
При увеличении возраста (t) высота x(t) приближается к (см. решение уравнения).
Решив эту систему уравнений можно найти значения коэффициентов а и b.
2.4. Биологический метод борьбы с нежелательным видом.
Речь идёт о теоретическом обосновании метода Кюрасао. Сущность этого метода заключается в том, что в популяцию, которую хотят подавить (например, в популяцию сельскохозяйственных вредителей), регулярно вводят стерильных транс-самцов. Таких самцов, с большим числом транслокаций можно получить, например, подвергнув облучению нормальных самцов. Не оставляя нормального потомства, то есть не участвуя в процессе естественного воспроизводства, эти самцы, будучи вполне жизнеспособными, наряду с нормальными, участвуют во внутривидовой борьбе, в том числе за самок, снижая тем самым скорость естественного увеличения популяции.
Рассмотрим модель, предложенную А.Д. Базыкиным.
Пусть х(t) – плотность нормальных самцов на поле.
n* – постоянная скорость, с которой стерильные самцы вводятся в популяцию (то есть число стерильных особей, вводимых в единицу времени на единицу площади поля);
y(t) – плотность стерильных самцов.
Необходимо определить скорость n* для постепенного снижения до нуля численности нормальных самцов, то есть достаточную, чтобы х(t) → 0.
Можно составить уравнения изменения численности нормальных и стерильных самцов,
где r = b – d – это постоянная скорость естественного увеличения нормальных самцов;
dх2 – снижение скорости роста численности из-за конкуренции между нормальными самцами;
dу2 – снижение скорости роста численности из-за конкуренции между стерильными самцами;
dху – снижение скорости роста численности из-за конкуренции между нормальными и стерильными самцами;
Решение этой системы уравнений показало, что х(t) ® 0, если n*³ r2/d.
Задача. Сколько стерильных самцов необходимо вводить в популяцию нормальных насекомых за единицу времени на единицу площади, чтобы х(t) ® 0 если r = 1 1/час, а d = 0,01 1/час?
Для решения достаточно подставить эти значения в предыдущую формулу.
,
или
(1)
; 
, х(0) ≈ 0 (2)
x
(см. решение уравнения).
