Математическая формализация

Чтобы моделировать функционирование объекта, необходимо знать или предположить известными два из трех элементов. В связи с этим при моделировании отдельных компонентов или элементов объекта сталкиваются с задачами трех типов. Если известны уравнения, описывающие поведение объекта, то путем решения прямой задачи можно найти реакцию объекта на заданный входной сигнал. Обратная задача – по заданному математическому описанию и известной реакции найти входной сигнал, вызывающий этот отклик, – в практике моделирования производственно-экономических систем встречается редко. Если математическое описание объекта неизвестно, но имеются или могут быть заданы совокупности входных и соответствующих им выходных сигналов, имеем дело с задачей идентификации объекта.

Основным методом решения задач идентификации при моделировании производственно-экономических объектов является метод «черного ящика», или, как его еще называют, кибернетическое моделирование.

Сущность метода состоит в том, что при исследовании объектов они рассматриваются как недоступный для наблюдения, изучения и описания «черный ящик», имеющий определенные входы и выходы. Вследствие сложности устройства «черного ящика», т.е. изучаемого объекта, возможно лишь наблюдать состояние входов в него и соответствующих им выходов, т.е. изучать поведение, не зная его внутреннего устройства. Так, например, в экономических исследованиях дл нахождения производственной функции входами считают затраты ресурсов , а выходами – произведенную продукцию. Сопоставляя входы и выходы за ряд моментов времени, находят такие параметры производственной функции , при которых вычисленные по этой зависимости значения y при заданных входах лучше всего аппроксимируют фактические значения выходов. Для определения формы математического описания в задачах идентификации используются методы регрессионного анализа.

Однако, как бы детально не изучалось поведение «черного ящик» нельзя вывести обоснованного суждения о его внутреннем устройстве, ибо одним и тем же поведением могут обладать различные объекты, а одно и то же соотношение между входами и выходами может в пределах имеющихся статистических данных удовлетворительно описываться несколькими различными математическими выражениями. Кроме того, применение метода «черного ящика» для описания функционирования сложных объектов с большим числом входов и выходов редко когда бывает удачным. Это связано с тем, что с увеличением числа факторов регрессионной модели обычно падает ее достоверность. Как показывает практика, удовлетворительные модели получаются при описании ситуации, в которой выходной фактор существенно связан не более чем с пятью-шестью входными факторами. Это обстоятельство определяет границы использования метода «черного ящика».

Как уже отмечалось выше, не во всех случаях возможно дать формализованное описание работы объекта как единого целого без разбивки его на отдельные элементы-модули.

При решении прямой задачи для каждого модуля, соответствующего элементарному процессу, проводится выбор метода математического описания, на базе которого будет строиться соответствующая модель поведения. Основой выбора метода математического описания является знание физической природы функционирования описываемого элемента, достаточно широкого круга экономико-математических методов, возможностей и особенностей ЭВМ, на которой планируется проведение моделирования. Так как для многих рассматриваемых явлений имеется достаточно удобное и проверенное практикой математическое описание, в первую очередь нужно обратиться к типовым математическим методам и схемам, использовать их для формализации и лишь при необходимости создавать оригинальные зависимости.

При развитой системе математического обеспечения ЭВМ, на которой предполагается проводить моделирование, целый ряд процедур может быть выполнен с помощью имеющихся стандартных средств. Если разработчик модели знает систему математического обеспечения конкретной ЭВМ, то это позволяет ему привести ряд модулей разрабатываемой модели к виду, позволяющему использовать стандартные программы или пакеты прикладных программ.

Оригинальные уравнения можно вывести в ходе обследования объекта, написать на основе предыдущих исследований подобных систем. Для построения математических моделей элементарных процессов, протекающих в соответствии с определенными законами, используются формульные выражения этих законов. Необходимые формулы берут либо из технической и научной литературы, либо выводят с помощью специально поставленных экспериментов. Статистические физические процессы обычно описываются алгебраическими уравнениями, а динамические – дифференциальными или конечно-разностными.

В итоге проведения формализации для каждого элементарного процесса-модуля создается его математическая модель. При разработке математических моделей элементарных процессов-модулей общей математической модели переменные в модели элементарного процесса обычно рассматриваются независимо от переменных в моделях других элементарных процессов, т.е. сначала разрабатываются частные модели. Только после окончания разработки проводиться стыковка их по ходам и выходам в единую математическую модель объекта. Совокупность математических моделей для отдельных модулей, рассматриваемых совместно, в общем случае не составляет математической модели для исследуемого процесса, а пока характеризует лишь отдельные изолированные элементы системы. Поэтому после формализации отдельных модулей производится их объединение в общую математическую модель, для чего в нее, если это необходимо, вводятся логические блоки, передающие управления от одного модуля к другому. Для этого логические условия формализуются в виде равенств или неравенств. Полученная совокупность соотношений явится описательной математической моделью исследуемого объекта. Формализация критерия оптимальности целевой функции переводит описательную модель в оптимизационную.

В самом общем виде многокритериальная оптимизационная математическая модель представляется соотношениями

(2.12)

. (2.13)

В оптимизационной математической модели, определяемой выражениями (2.12) и (2.13), выходные факторы объекта w_l модели (2.11) в записи не отражены, хотя, естественно, и критерий, и ряд ограничений определяются через эти характеристики. Множество входных факторов модели и входных факторов ее отдельных модулей в записи модели (2.12) – (2.13) подразделяется на переменные объекта , константы и , случайные и неопределенные факторы.