Применение правила циклов к графу связей

Правило циклов [24] позволяет для направленного графа или структурной схемы записать передаточную функцию между любыми ее входами и выходами. В соответствии с этим правилом передаточная функция графа определяется как

, (2.34)

где – определитель графа;

– передаточная функция -го пути между заданными входом и выходом;

– определитель сокращенного графа, образующегося в результате исключения пути с передаточной функцией и вершин, через которые этот путь проходит, из исходного графа.

Определитель графа может быть записан следующим образом:

, (2.35)

где – -е произведение передаточных функций циклов для циклов графа, взятых из множества независимых циклов. Сумма берется по всевозможным таким комбинациям.

Поясним некоторые из используемых терминов. Цикломназывается замкнутый контур в графе или структурной схеме. Передаточная функция цикла определяется как произведение передаточных функций всех звеньев, входящих в цикл.

Независимыми называются циклы, не касающиеся друг друга, т.е. не имеющие в структурной схеме общих точек.

В формуле (2.35) – функция -го контура, – произведение передаточных функций двух не касающихся друг друга контуров, – произведение передаточных функций трех взаимно не касающихся контуров и т.д.

Например, в структурной схеме двигателя постоянного тока, приведенной на рис. 2.27, есть два цикла и с передаточными функциями

Циклы касаются друг друга, так как имеют общий участок, включающий сумматор и звено с передаточной функцией , поэтому определитель

.

Рис. 2.27. Применение правила циклов
к структурной схеме

Прямой путь от входного воздействия к выходной величине проходит через элементы с передаточными функциями . Соответственно, передаточная функция этого пути равна

.

Этот путь касается обоих циклов, поэтому сокращенный граф циклов не имеет. Тогда , а передаточная функция двигателя определится как

.

Путь от возмущающего момента нагрузки определяется выражением

.

Этот путь не касается цикла , поэтому определитель сокращенного графа

,

а передаточная функция двигателя по возмущению

.

Вся информация, необходимая для расчета передаточной функции, есть, очевидно, и в графе связей, так как из него можно получить структурную схему, к тому же в различных вариантах. Рис. 2.28, а иллюстрирует поиск пути и циклов и в графе связей рассмотренной выше модели двигателя.

Путь в ГС проходит вдоль связей, не меняющих направления причинности в узлах графа. Изменение причинности (т.е. изменение усилия на поток и обратно) может происходить только в односвязных элементах ( ) и в гираторе.

Рис. 2.28. Пути и циклы в графе связей

Циклы в ГС, как это показано на рис. 1.28, c, образуются цепочками связей, сохраняющими направление причинности и заканчивающимися на обоих концах односвязными элементами . Отметим, что источники энергии в циклы входить не могут. Как это показано на рис. 2.29, цикл может включать последовательность 0-узлов и 1-узлов (рис. 2.29, а), трансформаторы (рис. 2.29, b) и гираторы (рис. 2.29, c). Передаточные функции циклов на рис. 2.29, a, b, c имеют вид, соответственно:

Коэффициенты передачи трансформаторов и гираторов входят в передаточную функцию цикла в квадрате, поскольку цикл проходит через них дважды: один раз в прямом направлении, другой раз – в обратном.

Циклы, образуемые цепочками связей, называются плоскими циклами.

Рис. 2.29. Примеры плоских циклов

Рассмотрим решение задачи расчета передаточной функции механизма с редуктором, граф которого приведен на рис. 2.30.

Рис. 2.30. Циклы в графе связей

Передаточная функция единственного прямого пути , проходящего последовательно через инерционность , трансформатор , емкость и инерционность определяется произведением передаточных коэффициентов перечисленных элементов

Граф содержит 5 циклов, отмеченных штриховыми линиями в графе. Передаточные функции циклов

Для того чтобы найти все пары, тройки и т.д. не касающихся циклов, удобно построить вспомогательный граф (рис. 2.30, b), в котором каждая вершина соответствует одному из циклов, а дуга между вершинами проводится, если циклы не касаются.

Каждая дуга в этом графе соответствует паре не касающихся циклов. Таких пар пять: .

Вспомогательный граф наглядно показывает также тройку независимых циклов , которая образует в треугольник. Четверок независимых циклов, которые образовали бы четырехугольник, здесь нет. Таким образом, определитель графа связей можно записать как

Путь не касается только цикла , поэтому а передаточная функция системы имеет вид

.

После необходимых подстановок получим

При использовании правила циклов необходимо учитывать, что знак передаточной функции цикла в ГС всегда отрицательный. Это следует из того, что полустрелки на концах цепочки связей в цикле, как это видно из рис. 2.29, всегда направлены в противоположные стороны. Для определения знака передаточной функции пути тоже не обязательно просматривать все изменения знака в цепочке связей, достаточно сравнить направления полустрелок в начале и конце пути.

2.11. Общие принципы графического представления
технических систем в пакетах
автоматизированного моделирования

Аппарат графов связей представляет собой хороший инструмент для аналитического моделирования, для получения математических моделей систем и объектов. Однако использование элементов графов связей в автоматизированном моделировании имеет ряд недостатков.
Во-первых, структура в виде графа связей является слишком детальной при описании сложных систем, например механических объектов в пространственном движении. Модель становится необозримой и сложной для восприятия. Во-вторых, аппарат графов связей непривычен специалистам предметных областей. Более предпочтительными являются электрическая схема при исследовании электрических систем, или кинематическая механическая цепь, при исследовании пространственных механизмов. Эти сложности заставляют искать в рамках компонентного моделирования другие формы задания графической информации об объекте.

Проблемы моделирования систем с элементами различной физической природы неоднократно поднимались и рассматривались рядом исследователей. В России заслуживает внимания группа авторов, опубликовавших ряд работ по теоретическим проблемам моделирования сложных физически неоднородных систем и реализовавших свои идеи в виде достаточно эффективного для своего времени пакета прикладных программ [1, 6]. Эти работы тем более заслуживают внимания, что многие изложенные в них идеи явно проглядывают в современных пакетах визуального моделирования.

Практически, в разработанном пакете присутствовали все те главные особенности пакетов автоматизированного моделирования, которые допускал уровень развития технических средств, а именно, графическое представления исходной информации о моделируемой системе, использование библиотек моделей компонентов, использование компонентов как с направленными, так и не направленными связями, использование информационных и энергетических связей и т.д.

Рассмотрим вкратце основные идеи упомянутых работ и сравним их с возможностями современных пакетов визуального моделирования.

В [1] в качестве графической формы модели введена так называемая формализованная схема, являющаяся некоторым обобщением других типов схем: структурной, принципиальной, кинематической, графа связей. В рамках такой схемы каждая часть моделируемой системы представляется наиболее удобным для нее способом.

Формализованная схема может включать типовые элементы с двумя типами связей. Связи первого типа называются информационными. Такие связи отражают передачу сигналов или информации в системе и полностью соответствуют связям, используемым при построении функциональных и структурных схем. Направление передачи сигнала отображается на информационной связи стрелкой. В зависимости от направления стрелки информационная связь может быть входом или выходом элемента.

Связи второго типа отражают передачу энергии в системе и называются энергетическими. Такие связи используются при моделировании физических объектов, в частности, электрических схем, исполнительных механизмов и приводов. Эти связи подобны связям в ГС.

Формализованная схема определена как произвольная совокупность элементов, внешние связи которых соединяются в точках, называемых узлами схемы. Если пронумеровать узлы схемы числами от 0 до , то совокупности узлов можно поставить в соответствие вектор переменных , называемый по аналогии с электрическими цепями вектором потенциальных переменных.

Энергетические связи в формализованной схеме называются ветвями схемы. Совокупности ветвей, пронумерованных в схеме числами от 1 до , ставится в соответствие вектор потоковых переменных . Для потоковых переменных выполняется правило: их алгебраическая сумма в каждом узле схемы равна нулю. Таким образом, потоковые переменные – это аналог токов в электрических цепях.

Однако, в отличие от электрических цепей, потенциальные и потоковые переменные могут быть не только скалярными, но и векторами произвольной размерности.

Частным случаем формализованной схемы является структурная схема. Она строится с использованием типовых звеньев, соединенных информационными направленными связями. В структурной схеме присутствуют только потенциальные переменные, связанные с узлами схемы. Потоковых переменных в структурной схеме нет. На рис. 2.31 представлена структурная схема в нотации пакета REMOS [6].

Данная схема описывается вектором переменных схемы . Из них переменные и – переменные входа и выхода.

На рис. 2.32 аналогичная схема представлена в нотации MATLAB/Simulink. Современный графический интерфейс пакета Simulink позволил отказаться от нумерации связей в структурной схеме.

Рис. 2.31. Структурная схема в нотации пакета REMOS

Рис. 2.32. Структурная схема в нотации MATLAB/Simulink

Приведенные определения позволяют наиболее естественным образом представлять структуру объектов различной физической природы и их систем управления. Например, электрическая цепь может быть представлена своей принципиальной схемой, построенной из типовых элементов (резисторов, емкостей, транзисторов и др.). Для примера на рис. 2.33 приведена простая электрическая схема с энергетическими связями. В ней узлам с номерами 0, 1, 2 соответствуют потенциальные переменные – электрические потенциалы . Ветвям, номера которых отмечены в скобках, соответствуют потоковые переменные – электрические токи .

При моделировании механических объектов удобно использовать подход, эквивалентный методу графов связей, с учетом некоторых изменений в принятой терминологии и в условных обозначениях элементов.

Потоковыми переменными в механических системах удобно считать силы и моменты сил, а потенциальными – линейные и угловые скорости. В этом случае 1-узел графа связей может изображаться в схеме просто точкой соединения связей, т.е. узлом схемы, и жесткое соединение твердых тел (рис. 2.11) отображается в схеме более наглядно – просто соединением связей элементов в узле схемы.

Подвижное соединение твердых тел, которое на ГС отображается 0-узлом (рис. 2.12), в схеме отображается элементом, называемым одномерным кинематическим 1-узлом. В названии элемента отражается свойство узла предоставлять одну степень свободы в относительном движении.

С учетом введенных изменений любой граф связей может быть изображен в виде схемы с использованием соответствующих элементов. Для иллюстрации на рис. 2.34 приведена схема механической вращательной системы, соответствующая графу связей, построенному на рис. 2.17. В этой схеме пронумерованы узлы, которым соответствуют угловые скорости и ветви (номера ветвей даны в скобках), которыми соответствуют вращающие моменты .

Рис. 2.33	Рис. 2.34

Достоинством формализованной схемы является возможность использования моделей механических элементов с векторными энергетическими связями в качестве компонентов для моделирования пространственного движения механизмов. Такие элементы могут быть построены, в частности, с использованием аппарата графов связей. Примеры формирования сложных компонентов механических цепей рассмотрены в работах [1, 6].

На рис. 2.35 приведена модель вращательной кинематической пары, ось вращения которой параллельна осям и , в результате чего все звенья движутся в плоскости .

Рис. 2.35. Модель вращательной кинематической пары:
a – кинематическая схема; b – граф связей;
c – компонент формализованной схемы

Такому соединению соответствуют уравнения:

,

где – матрица поворота относительно оси ;

– вектор угловой скорости для вращения относительно оси ;

и – векторы силы в плоском движении;

и – векторы линейной скорости в плоском движении.

Кроме этого, как следует из графа, момент, приложенный в шарнире

.

В этом графе коэффициенты передачи трансформаторов определяются выражениями:

где угол поворота определяется из уравнения: .

Подобным же образом можно получить и представить математические модели твердых тел.

Моделей трех элементов – звена, шарнира и опоры, достаточно для графического представления кинематической схемы пространственного механизма. С использованием этих элементов схема механизма строится просто как последовательное соединение звеньев и шарниров (рис. 2.35). Компонент «основание» необходим в схеме для задания направления силы тяжести.

Приведенная на рис. 2.36 схема двухзвенного манипулятора в нотации пакета REMOS – векторная. В ней каждому из узлов 1–5 соответствует векторная потенциальная переменная

, ,

включающая проекции векторов линейной и угловой скоростей соответствующей точки механизма на связанные оси, а также проекции единичного вектора силы тяжести.

Рис. 2.36. Схема двухзвенного манипулятора

Каждой из ветвей с номерами 1–9 соответствует векторная потоковая переменная

, ,

включающая проекции векторов силы и вращающего момента реакции связи. Узлам с номерами 6, 7 соответствуют скалярные переменные – относительные скорости вращения в шарнирах, а узлам 8, 9 – углы поворота в первом и втором шарнирах соответственно. Ветвям 10–13 соответствуют скалярные потоковые переменные – вращающие моменты приводов.

Пример моделирования системы с использованием энергетических и структурных компонентов приведен на рис. 2.37. Рассмотрена схема системы управления двухзвенного манипулятора, в которой по каждой из степеней подвижности реализован простейший закон формирования управляющего момента

,

где – заданное значение угла поворота в сочленении (переменные в схеме);

– угол поворота (переменные ).

В этой схеме дополнительно компонентами учтены моменты инерции механической части привода.

Особенностью схемы являются элементы, названные в [1, 6] управляемыми источниками. Их роль – преобразовать информационную переменную в энергетическую, в управляющий момент, приложенный в шарнире.

Рис. 2.37

В современных пакетах автоматизированного моделирования механических цепей те детали, которые ранее отражались на схеме, в частности, номера узлов и ветвей, или неявно задавались в модельном соглашении, например, порядок расположения переменных в векторах связей, определяются самой формализованной схемой. Однако общие принципы представления систем, содержащих энергетические и информационные элементы, во многом сохранились. Например, в приведенной на рис. 2.38 модели того же самого двухзвенного манипулятора в нотации пакета SimMechaniks, верхняя часть схемы представляет собой кинематическую цепь, включающую основание, два вращательных кинематических узла и два твердых тела. В схеме присутствуют порты для соединения физических элементов, помеченные символами и на вращательных кинематических узлах, и информационные порты, служащие для соединения энергетической и сигнальной части. Блок привода играет ту же роль, что и управляемый источник на рис. 2.36. Схема управления вторым приводом свернута в подсистему.

Рис. 2.38

Глава 3
Исследование ТЕХНИЧЕСКИХ систем
во временной области