МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ

Цельработы: освоить различные способы описания линейных динамических систем и методы их моделирования в пакетах MATLAB и SIMULINK.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Описание систем структурной схемой и передаточной функцией.

В инженерной практике используются различные способы задания динамических систем – с помощью структурных схем, передаточных функций, дифференциальных уравнений, а также с помощью частотных и временных характеристик. Проиллюстрируем их на примере следящей системы, структурная схема которой представлена на рис.1. В ее состав входят инерционное усилительное звено с передаточной функцией k / (T₁ p + 1), двигатель с передаточной функцией 1 / (T₂ p) и вычитающее устройство для сравнения входного сигнала u и выходного сигнала следящей системы y. Следящая система должна работать таким образом, чтобы угол поворота двигателя у по возможности точно равнялся значению входного сигнала и (задача слежения).

Способ задания моделей объектов с помощью схемы (типа приведенной на рис.1) называется структурным, поскольку он отражает реальную структуру объекта.

По передаточным функциям отдельных блоков можно построить общую передаточную функцию следящей системы , связывающую изображения по Лапласу входного и выходного сигналов.

Для этого в соответствии со структурной схемой выписывается система уравнений

, (1)

которая затем преобразуется к одному уравнению, путем исключения переменной e(p):

Далее, выражая выходной сигнал Y(p) через входной U(p), получаем

где Q(p) -передаточная функция системы.

В нашем случае она имеет вид

.

По сравнению со структурным описанием передаточная функция является более компактной математической моделью, в то же время она позволяет анализировать такие характеристики, как устойчивость и минимальность объекта.

1.2. Описание систем дифференциальными уравнениями.

От передаточной функции легко осуществить переход к описанию системы с помощью дифференциального уравнения. В рассматриваемом случае для этого достаточно в уравнении

раскрыть скобки и заменить оператор p оператором дифференцирования d/dt

(2)

Решая это дифференциальное уравнение, можно найти реакцию следящей системы на любое входное воздействие.

Аналитическое решение y(t) дифференциального уравнения (2) является суммой решения однородного уравнения y_одн(t) и частного решения дифференциального уравнения y_частн(t).

Для получения y_одн (t) составляем характеристическое уравнение T₁T₂p² + T₂p +k = 0.

и находим его корни p₁ и p₂. Если они вещественные и различные, то решение однородного уравнения ищется в виде , где С₁ и С₂ - коэффициенты, зависящие от начальных условий и определяемые в дальнейшем. Если корни одинаковые (кратные) p₁=p₂, то решение имеет вид . Паре комплексных корней p_1,2= a ± jb соответствует решение

Во всех случаях система оказывается устойчивой, если корни лежат в левой полуплоскости (при этом решение однородного уравнения с течением времени стремится к нулю).

Частное решение дифференциального уравнения определяется видом правой части дифференциального уравнения (2). Если, например, там стоит экспоненциальная функция u=e^-t, то и частное решение нужно искать в виде экспоненты y_частн =Ce^-t. Если u = 1(t), его следует искать в виде константы y_частн = C. Для определения C надо подставить частное решение в дифференциальное уравнение. Учитывая, что производная от константы равна нулю, находим, что в последнем случае C = 1.

Значения постоянных С₁, С₂ определяются путем подстановки в полученное решение начальных условий. Например, в случае нулевых начальных условий и решения вида постоянные С₁ и С₂ находятся из системы уравнений

C₁ + C₂ + 1 = 0; p₁C₁ + p₂C₂ = 0.

Наряду с заданием объекта одним дифференциальным уравнением типа (2) часто используют описание с помощью системы дифференциальных уравнений первого порядка. Оно известно как матричное описание или описание в пространстве состояний.

Для получения описания следящей системы в пространстве состояний выберем в качестве переменных состояния x₁ и x₂ выходные сигналы звеньев первого порядка на структурной схеме рис. 1.

Составим для каждого из них дифференциальное уравнение первого порядка

.

Кроме того, запишем алгебраическое уравнение для выходного сигнала y = x₂ .

В матричном виде это описание имеет вид

где

, , ,

Анализируя это описание, можно оценить устойчивость, управляемость, наблюдаемость и другие характеристики системы.

1.3. Взаимосвязь описаний.

Все рассматриваемые виды описаний тесно взаимосвязаны, поэтому, зная одно из них, можно получить остальные. Например, связь между матрицами A, b, c описания в пространстве состояний и передаточной функцией системы Q(p) задается уравнением

(3)

где p - оператор Лапласа, E - единичная матрица.

Любое из рассмотренных описаний системы позволяет рассчитывать ее реакцию на типовые входные сигналы. Чаще всего систему характеризуют реакцией на дельта-функцию u = d(t) и на единичную функцию (функцию единичного скачка) u = 1(t). Эти реакции известны как импульсная весоваяхарактеристика системы y = q(t) и переходная характеристика y = p(t). Их изображения по Лапласу связаны с передаточной функцией формулами

(4)

которые удобно использовать для нахождения весовой и переходной характеристики.

Другой подход к описанию системы связан с использованием частотных характеристик. Они получаются рассмотрением функции комплексной переменной, получаемой из формулы (3) заменой p = jw: Q(jw) = c(jwE – A) ^{– 1} b.

1.4. Моделирование в пакете MATLAB и SIMULINK.

Пакет MATLAB поддерживает все виды описаний динамических систем, включая структурные схемы, передаточные функции и матричное описание в пространстве состояний. Для работы со структурными схемами в пакете MATLAB имеется приложение SIMULINK. Его можно вызвать, набирая в командном окне MATLAB команду simulink.

Численное моделирование следящей системы в MATLAB выполняется с помощью команд impulse, step, lsim. Предварительно надо ввести числитель num и знаменатель den передаточной функции либо матрицы A, B, C, D описания в пространстве состояний и сформировать структуру sys=tf(num,den) либо sys=ss(A,B,C,D). После этого весовая функция и переходная функция находятся командами impulse(sys), step(sys), а реакции на произвольные входные сигналы, такие как u=e^-t, рассчитываются с помощью команды lsim.

Реализация различных соединений блоков может быть осуществлена программно с помощью команд parallel, series, feedback, appendи некоторых других. Для этой цели можно использовать также команды +, – , *.

В MATLAB можно получать не только численное, но и символьное решение дифференциальных уравнений. Это делается с помощью команды dsolve тулбокса SYMBOLIC. Входными аргументами команды служат дифференциальное уравнение и начальные условия. Например, для решения дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями следует набрать код

>> y=dsolve('D2у+3*Dу+2*y=2', 'Dy(0)=0','y(0)=0')

MATLAB выдаст ответ y =1+exp(-2*t)-2*exp(-t), т.е. y=1+e^–2t–2e^–t.

2. ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ И СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

В работе исследуется динамика следящей системы, заданной структурной схемой (рис.1) при значениях параметров k, T₁, T₂, приведенных в таблице вариантов заданий.

Отчет по работе должен содержать:

1. Исходную схему моделирования с заданными численными значениями параметров и передаточную функцию Q(p), полученную из уравнения (1).

2. Дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее следящую систему, его аналитическое решение и график выходного сигнала y(t) при входном сигнале
u=e^–t и нулевых начальных условиях.

3. Описание следящей системы в пространстве состояний, передаточную функцию системы, полученную по формуле (3). Формулы и графики весовой и переходной характеристик.

4. Схемы моделирования следящей системы применительно к SIMULINK, содержащие осциллографы и генераторы входных сигналов (для генерирования сигнала u=e^–t использовать интегратор с обратной связью). Программы численного и символьного моделирования в MATLAB.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. С помощью пакета SIMULINK построить схему моделирования в соответствии с рис. 1.

Получить графики выходных сигналов (весовой функции, переходной функции и реакции на u=e^–t). Проверить их соответствие расчетным.

2. Параллельно со схемой моделирования следящей системы набрать модель передаточной функции Q(p) следящей системы и сравнить их выходные сигналы.

3. Выполнить моделирование в пакете MATLAB, используя разные описания системы. Сравнить результаты моделирования в MATLAB и SIMULINK.

4. Построить графики фазовых траекторий в плоскости (x₁, x₂) (в SIMULINK для этого потребуется блок XY-graph). Построить частотные характеристики следящей системы, используя команды bode, nyquist, ltiview.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Описать общую процедуру перехода от произвольной структурной схемы к системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

2. Найти реакцию своего варианта следящей системы на входной сигнал и построить график выходного сигнала.

3. Найти передаточную функцию следящей системы, если устройство сравнения реализовано в соответствии с одной из следующих формул:

4. Как повлияет изменение знака обратной связи в следящей системе на ее устойчивость и вид переходной характеристики?

5. Найти передаточную функцию следящей системы, если передаточная функция двигателя равна

5. Найти матрицы описания в пространстве состояния для пп.3 и 5.

6. Сравнить графики весовой и переходной функций разомкнутой и замкнутой системы для своего варианта заданий.

5. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Лабораторная работа № 4