МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы: освоение методики моделирования линейных дифференциальных уравнений в системе MATLAB и SIMULINK.

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Линейное дифференциальное уравнение.

Многие физические процессы, такие как колебания маятника, движение стрелки гальванометра, изменение высоты при посадке самолета, процессы в электрическом колебательном контуре могут быть описаны линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка

. (1)

Здесь а₀, а₁ – постоянные коэффициенты, определяющие характер процесса, точкой обозначается производная по времени. Амплитуда переменной x(t) зависит от начальных условий, например, от начального отклонения x₀ маятника и его начальной скорости .

Вид теоретического решения дифференциального уравнения (1) определяется корнями его характеристического полинома

Если корни вещественные и различные р₁ = a_{1`</sub>, р<sub>2</sub> = a<sub>2`}, то решение имеет вид

.

Если корни комплексные р_1,2 =a ± ib , то решение имеет вид

Постоянные С₁ и С₂ находят, подставляя начальные условия в выражения для x(t) и при t = 0.

Пример 1. Дано дифференциальное уравнение

Его характеристическое уравнение p² + 2p + 2 = 0 имеет корни . Следовательно, общее решение будет следующим:

Дифференцируя, находим выражение для :

При t = 0 с учетом начальных условий получаем C₁ = 2, С₂ = 1. Следовательно,

Эффективным средством решения дифференциальных уравнений является численное моделирование в одном из математических пакетов (MATHCAD, MATLAB, SIMULINK и др.). График решения x(t) наблюдается на экране дисплея. В пакете MATLAB для этой цели имеются команды initial, lsim, ode23, ode45, dsolve. Дополнительныe возможности для пользователя предоставляет моделирование в SIMULINK.

1.2. Структурное моделирование линейных дифференциальных уравнений.

При структурном моделировании дифференциальных уравнений в пакете SIMULINK необходимо составить схему моделирования. На ней изображаются вычислительные блоки (усилители, сумматоры, интеграторы) и связи между ними. При проведении моделирования эта схема набирается на экране дисплея с помощью мыши или клавиатуры. По своему смыслу этот процесс аналогичен вводу программы, однако он более прост и нагляден. Подробная информация о реализации таких схем в SIMULINK имеется в разделе 3 учебного пособия Мироновского Л.А., Петровой К.Ю. «Введение в MATLAB» (ГУАП, 2006).

Рассмотрим методику составления схемы моделирования на примере однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка

(2)

Для построения схемы моделирования воспользуемся методом понижения производной (методом Кельвина). В нем можно выделить четыре шага.

Шаг 1. Разрешаем исходное уравнение относительно старшей производной. В частности для уравнения (2) получаем .

Шаг 2. Полагаем старшую производную известной и выполняем ее последовательное интегрирование, получая все низшие производные и саму переменную х. В случае уравнения (2) для этого потребуется два последовательно включенных интегратора, на выходах которых получим сигналы и x.

Шаг 3. Формируем старшую производную, используя уравнение, полученное на первом шаге. В нашем примере для этого потребуется сумматор, складывающий сигналы и x, домноженные, соответственно, на коэффициенты –2 и –3.

Шаг 4. Объединяем схемы, полученные на втором и третьем шагах, в общую схему моделирования, указываем начальные условия интеграторов.

Применение этой методики для уравнения (2) приводит к схеме, показанной на рис. 1. Она содержит два интегратора, два масштабных усилителя и сумматор (обозначен кружочком).

Рис. 1. Схема моделирования уравнения (2)

Выходной сигнал схемы подается на имитатор осциллографа (блок Scope) или передается в рабочее пространство MATLAB (блоки OUT или ToWorkspase).

1.3. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Многие технические объекты можно описать системой n линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

(3)

где и – входной сигнал; Y – вектор-столбец выходных переменных y_i; b – вектор-столбец коэффициентов b_i; A – квадратная матрица коэффициентов a_ij, .

Например, при моделировании летательного аппарата составляющими вектора Y могут быть текущие координаты самолета и скорости их изменения, тогда матрица A будет характеризовать динамику самолета, а слагаемое bи описывать управляющие воздействия, формируемые летчиком или автопилотом.

Один из методов решения системы дифференциальных уравнений основан на предварительном переходе от системы (3) к одному уравнению n-го порядка. Для этого из уравнений системы и из уравнений, полученных их дифференцированием, исключают все переменные кроме одной. Для нее получают одно дифференциальное уравнение. Решая его, определяют эту переменную, а остальные находят, по возможности, без интегрирования.

Пример 2. Дана система из двух дифференциальных уравнений

(4)

После дифференцирования первого уравнения получаем:

Чтобы исключить у₂, вычтем отсюда удвоенное первое уравнение системы (4):

Мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение этого уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения . Так как корни характеристического уравнения р² – 2р–15 = 0 вещественны и различны: р₁ = –3, р₂ = 5, то решение имеет вид . Складывая его с частным решением , получаем Переменную y₂ находим из соотношения

Для определения постоянных коэффициентов С₁ и С₂ используют начальные условия системы. Аналогичным образом этот метод применяется и для систем уравнений более высоких порядков

1.4. Моделирование системы линейных дифференциальных уравнений.

Если задача описывается системой дифференциальных уравнений пер­вого порядка, то для ее моделирования по методу понижения производной достаточно составить схемы для каждого уравнения отдельно. Например, схема моделирования системы уравнений (4) будет иметь вид, показанный на рис. 2.

Рис. 2. Схема моделирования системы уравнений (4)

Для наблюдения графиков сигналов у₁(t), у₂(t) в SIMULINK используется блок осциллографа SCOPE, а для наблюдения фазовой траектории у₂ = f (у₁) – блок осциллографа XY Graph.

2. ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ И СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Теоретическое решение уравнения (1) при заданных значениях а₀, а₁ и начальных условиях x(0) = 5, . Таблицы расчетных данных, графики решений x(t), , график фазового портрета .

2. Схема моделирования заданного уравнения применительно к SIMULINK.

Теоретическое решение системы дифференциальных уравнений (3) для случая

(5)

при заданных значениях а_ij. Графики решений у₁(t) и у₂(t) и график фазового портрета
у₂ = f(y₁).

Схема моделирования исходной системы уравнений применительно к SIMULINK.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

1. Набрать в SIMULINK схему моделирования уравнения (1), установить коэффициенты и начальные условия.
2. Получить осциллограммы x(t), и , сравнить их с теоретическими графиками. Варьировать шаг и метод интегрирования.
3. Набрать схему моделирования системы уравнений (3), установить коэффициенты и начальные условия (5).
4. Получить осциллограммы у₁(t), у₂(t) и у₂ = f(y₁), сравнить их с теоретическими графиками. Варьировать шаг и метод интегрирования.
5. Выполнить моделирование системы уравнений (3) в MATLAB, используя команду lsim. Cравнить графики, полученные в MATLAB и SIMULINK.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Решить следующие линейные дифференциальные уравнения:

а)

б)

1. При каком значении а и при каких начальных условиях решение уравнения имеет вид:

а) x = sin t; б) x = cos t; в) x = e^t ; г) x = e^-t ; д) x = e^3t; е) x = e ^{t /3}.

1. В чем заключается метод понижения производной? Пользуясь этим методом, составить схемы моделирования для всех вариантов п.1.
2. Используя метод понижения производной, составить схемы моделирования следующих дифференциальных уравнений:

а) б)

в)

г)

1. Схема моделирования представляет собой кольцо из трех интеграторов с единичными коэффициентами и одинаковыми начальными условиями. Найти моделируемое дифференциальное уравнение и его аналитическое решение.
2. Как изменятся графики решения линейного однородного дифференциального уравнения при замене знаков всех начальных условий на противоположные?
3. Описать процедуру перехода от системы дифференциальных уравнений к одному уравнению и обратную процедуру, рассмотрев случай n=3. Привести пример.
4. Составить схему моделирования и найти решение системы линейных дифференциальных уравнений если матрица A имеет вид

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО РАБОТЕ № 2

Ответы на контрольный вопрос 1а,б,в,г:

а. б.

в.

г.

Лабораторная работа №3