Условие существования определенного интеграла.

Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Замечание: Геометрический смысл интеграла есть площадь криволинейной трапеции.

Sкр.тр.= .

Свойства определенного интеграла.

1. . y

1

a b x

2. = .

3. Рассмотрим: интеграл выносится за знак интеграла.

= k .

Доказательство.

= = k = k ;

4. = + .

Доказательство.

=| по определению| = = = = + = = + .

5. Если [a,b] точкой c делится на 2 отрезок [a,c] и [c,b], то

= + .

Доказательство.

Рассмотрим 1 случай: с между а и b.

Так как определенный интеграл – предел последовательности

^{| | | | | | | | | |} интеграла суммы, не зависящего от способа

^{a c b} разбиения отрезка на части , то разобьем отрезок на части так, чтобы точка с совпала с точкой разбиения.

Тогда = + .

Перейдем в этом равенстве к пределу при х→0, получим:

= + ;

= + .

2 случай: Пусть с лежит вне отрезка [a,b] a b c

Тогда по показанному в 1случае, ^{| | |}

= + ;

Но = – ;

Тогда = - ;

Отсюда: = + .

6. Если на отрезке [a,b] ƒ(x)≥0 , то ≥0.

Доказательство.

По условию ƒ(ζi)≥0 , Δxi = xi – xi-1 >0;

Тогда

, таким образом, ≥0.

7. Если на отрезке [a,b] ƒ1(х)≥ ƒ2(х), то ≥ .

8. ≤ ;

Доказательство.

Известно, что – ≤ ƒ(х)≤ .

По свойству 7

– ≤ ≤ , по свойству абсолютной величины

≤ ;

9. Если функция y = ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], то

m(b-a) ≤ ≤ M(b-a)

Оценка интеграла.

Доказательство.

Так как функция ƒ(х) непрерывна на [a,b], то по свойству непрерывной на отрезке функции, она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и наибольшего значения M.

Тогда m≤ ƒ(х) ≤ M

По свойству 7: ≤ ≤ ;

По свойству 3: m ≤ ≤ M ;

По свойству 1: m(b-a) ≤ ≤ M(b-a);

Геометрический смысл свойства 9: SM(b-a)

m

Sm(b-a)

a b

Теорема о среднем.

Если функция непрерывна на [a,b], то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка ζ, в которой имеет место равенство:

= ƒ(ζ) или

= (b – a) ƒ(ζ);

Доказательство.

Так как функция непрерывна на отрезке по свойству 9 имеем:

m(b-a) ≤ ≤ M(b-a);

разделим на (b-a):

m ≤ ≤ M;

обозначим через μ, тогда:

m ≤ μ ≤ M;

Так как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по свойству функции, непрерывной на отрезке, она принимает любое значение, по крайней мере в одной точке, данного между m и M.

Значит, найдется такая точка ζ [a, b], в которой функция принимает значение равное μ.

т.е. ƒ(ζ) = μ;

Таким образом = ƒ(ζ);

Геометрический смысл: ƒ(х)

a ζ b

= ƒ (ζ)(b-a) ;

Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием b-a и высотой, равной значению функции в некоторой «средней» точке ζ.