Интегрирование тригонометрических функций.

I.Интеграл вида , где R(sin(x), cos(x)) – это рациональная функция относительно sin(x) и cos(x) подстановкой tg = t сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.

Действительно найдем.

= arctg(t);

x = 2 arctg(t); dx = ;

sin(x) = sin2 = ;

разделим числитель и знаменатель на cos2 ; |tg = t|

sin(x) = ;

cos(x) = , делим на cos2 ;

cos(х) = ; тогда

= = ∫ r(t) dt, где r(t) – рациональная функция

относительно t.

r(t)

Пример: Вычислить.

= | tg = t | = = =

= 2 = -2 = -2 = ;

Такая подстановка называется универсальной, т.е. она пригодна для вычислений интеграла sin(x) и cos(x).

Замеяание1: часто применение универсальной подстановки приводит к громоздким вычислениям. Некоторые интегралы могут быть решены другим способом.

а) ∫ R(sin(x))cos(x) dx = | sin(x) =t; cos(x)dx = dt | = ∫ R(t) dt.

∫ R(t) dt – интеграл от рациональной функции относительно t.

б) ∫ R(cos(x))sin(x) dx = – ∫ R(t) dt;

в) ∫ R(tg(x)) dx = | tg(x)=t; x= arctg(t); dx = dt/(1+t2)| = = ∫r(t)dt ,

r(t)

где r(t)- рациональная функция относительно t.

Пример: вычислить интеграл.

= = |sin(x) = t ; cos(x)dx=dt| = =

= _-t2 +1 |t+2 =∫(2 – t –3/(t+2))dt = 2t – t2/2 – 3 ln|t+2| = 2 sin(x)-1/2sin2x –3ln|sin(x)+2|+C

- t2-2t -t+2

_ 2t+1

2t+4

-3

Замечание2: если подынтегральная функция содержит sin(x) и cos(x) в четной степени и произведение sin(x)cos(x), то целесообразней применять подстановку tg(x) = t, тогда

x = arctg(t), dx = ;