Интегрирование иррациональных функций.

I. Интеграл вида , где - рациональная функция относительно x и , подстановкой сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.

Проверим это.

, ax + b = tncx + dtn,

x = .

dx = = = ,

т.к. = t , тогда

;

r(t)

получаем, что , где r(t)- рациональная функция от t.

Замечание:

в этом случае заменой

, где s-наименьшее общее кратное чисел m и n.

Пример: Вычислить интеграл.

x-1 = t12 , dx = 12t11 dt; = =

= t4 ; = t2;

= t3;

= 12 = = 12 12 ∫t dt +12∫ dt - 12 =

t3 + t2 |t2 +1

¯ t3 + t t+1

_ t2–t

t2+1

-t-1

= 6t2 + 12t – 6 ∫ (t2+1)-1d(t2 +1) – 12arctg(t) =6t2 + 12t – 6 ln|t2+1| – 12arctg(t) =

= | x –1 =t12 , t = | = 6 +12 -6ln| +1| - 12 arctg( ) + C;

II.Интегралы от дифференцированных биномов (биномиальный дифференциал).

Определение : xm(a + bxn)P dx – называется дифференциальным биномом.

Академик Чебышев доказал, что ∫ xm(a + bxn)P dx выражается через элементарные функции в трех случаях:

1) если P-целое, то следует сделать подстановку

, где λ – общий знаменатель чисел m и n.

2)P – не целое, - целое, тогда вводим , где s – знаменатель P.

3) P + - целое, тогда замена такая:

ax–n + b = tS , где s – знаменатель P.

В остальных случаях интеграл не берется.

Пример: вычислить интеграл.

x–2 (1+x2)-3/2 dx = m=-2; n=2; P=-3/2; = - - не целое; =

P + = -1 – целое;

= x–2 +1 = t2; x–2 = t2 –1; x=( t2 –1)–1/2; = –∫ (t2 –1) ( )–3/2 t (t2 –1) –3/2dt=

dx= -1/2( t2 –1)–3/22tdt = -t ( t2 –1)–3/2dt;

x2 = ( t2 –1)–1= ; 1+ x2 = 1 + =

= –∫ (t2 –1) t–2 dt = –∫dt + ∫t–2dt = –t – t-1 = -t – + C = +C =

= + C;

III.Тригонометрические подстановки.

а) Интеграл вида подстановкой x = a∙sin(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).

= x=a∙sin(t); dx=acos(t) dt = =

= a∙cos(t); обозначили r(sin(t), cos(t))

= ;

рациональная функция относительно sin(t) и cos(t).

= | x = a∙sin(t); dx = a∙cos(t) | = ∫ a∙cos(t) ∙ a∙cos(t) dt = a2 ∫ cos2(t) dt =

= a2 = a2/2 ∫dt + a2/4∫2cos(2t)dt = a2/2 t + a2/4∫cos(2t)d(2t)=a2/2 t + a2/4sin(2t) + C =

= x=a∙sin(t); t = arcsin(x/a); =

sin(2t) = 2sin(t)cos(t) = 2 sin(arcsin(x/a)) cos(arcsin(x/a)) = 2

= ;

б) интеграл вида =

= x= a∙ sec(t) = a/cos(t) ; ;

| =

= = ∫ r(sin(t), cos(t))dt.

r(sin(t), cos(t))

подстановкой x= a∙ sec(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).

в) интеграл вида =

= x = a∙tg(t) = a ; = = = ∫ r(sin(t), cos(t)) dt.

r(sin(t), cos(t))

Этот интеграл подстановкой x = a∙tg(t) сводится к интегралц от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).

Замечание:

Рассмотрим преобразуем в выражение

ax2+bx+c = a (x2 + x + ) = a ((x+ )2 + – ) = a ((x+ )2 + ) ;

если обозначить x+ = t ; = ± m 2 ;тогда

ax2+bx+c = a(t2 ± m 2);

x = t – ; dx=dt;

= .