Для анализа и синтеза схем в ЭВМ при алгоритмизации и программировании решения задач широко используется математический аппарат алгебры логики. Основоположником математической логики является немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 гг.). На заложенном Лейбницем фундаменте ирландский математик Джордж Буль построил здание новой науки – математической логики, которая в отличие от обычной алгебры оперирует не числами, а высказываниями.
Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1.
Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.
Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности.
Пример 9. Определить значения истинности для следующих высказываний.
«Лед – твердое вещество» - истинное высказывание.
«Париж – столица Китая» - ложное высказывание.
«Треугольник – это геометрическая фигура» - истинное высказывание.
Таким образом, по своей сути высказывания фактически являются двоичными объектами и поэтому истинному значению ставят в соответствии 1 (TRUE), а ложному – 0 (FALSE). В алгебре логики все высказывания обозначают буквами А, B, C и т.д. Например, запись А = 1 означает, что высказывание А истинно.
Высказывания могут быть простыми и сложными. Простые соответствуют алгебраическим переменным, а сложные являются аналогом алгебраических функций. Функции могут получаться путем объединения переменных с помощью логических операций.
Простейшими операциями в алгебре логики являются следующие операции:
§ Логическое сложение (операция ИЛИ (OR), операция дизъюнкции)
Это бинарная операция, так как представляет собой результат действий над двумя логическими величинами. Записывается в виде: AÚBилиA+B. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного из операндов истинно.
§ Логическое умножение (операция И (AND), операция конъюнкции)
Также является бинарной, но в отличии от дизъюнкции имеет значение ИСТИНА, если оба ее операнда истинны. Записывается:AÙBилиA*B.
§ Отрицание (операция НЕ (NOT), операция инверсии)
Унарная операция, то есть имеет всего один операнд. Записывается: или Ø A.
Операции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему логических операций, из которых можно построить сколь угодно сложное логическое выражение.
Логическое выражение (логическая формула) – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является одно из двух значений: ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.
Существуют специальные таблицы, в которых указываются все возможные комбинации логических переменных A и B, а также соответствующие им результаты операций. Они называются таблицами истинности.
Таблицы истинности:
A
NOT A
(Ø A)
A
B
A OR B
(AÚB)
A AND B
(AÙB)
В соответствии с международным стандартом на схемах логические блоки изображаются в следующем виде:
Схема ИЛИ, реализующая операцию логического сложения
Схема И, реализующая операцию логического умножения
Схема НЕ, реализующая операцию инверсии
Пример 9. Рассмотрим сложное высказывание: «Число 6 делиться на 2, и число 6 делиться на 3». Представить данное высказывание в виде логической формулы.
Обозначим через A простое высказывание «число 6 делиться на 2», а через B «число 6 делиться на 3». Тогда соответствующая логическая формула примет вид: AÙB. Ее значение – ИСТИНА.
Пример 10. Вычислить значение логической формулы: не X и Y или X и Z, если логические переменные имеют значения: X = ЛОЖЬ, Y = ИСТИНА, Z = ИСТИНА.
Отметим порядок выполнения операций в логическом выражении:
1 2 4 3
не X и Y или X и Z
1) не X – не ЛОЖЬ = ИСТИНА;
2) X и Y – ИСТИНА и ИСТИНА = ИСТИНА;
3) X и Z – ИСТИНА и ЛОЖЬ = ЛОЖЬ;
4) Y или X – ИСТИНА или ЛОЖЬ = ИСТИНА.
Ответ: ИСТИНА.
Вопросы для подготовки к контрольной работе по теме «Информация»
1. Понятия информатики, документалистики, кибернетики, сomputer science.
2. Понятие информации. Формы представления информации.
3. Хранение информации: понятие и виды носителей.
4. Обработка информации: понятие и примеры обработки информации.
5. Передача информации: элементы системы передачи информации, типы сигналов.
6. Виды информации.
7. Измерение информации: идеи вероятностного и объемного подходов, уметь решать задачи.
8. Системы счисления: понятия системы счисления, позиционной и непозиционной, общая запись числа в системе счисления с основанием q.
9. Преимущества двоичной системы счисления для ЭВМ.
10. Перевод чисел из одной системы счисления в другую (уметь переводить из десятичной системы счисления в другую и обратно).
11. Понятия алгебры логики, высказывания. Примеры высказываний.
12. Операции алгебры логики. Уметь решать задачи на определение истинности или ложности высказывания.
или Ø A.
