Математическое моделирование процессов в экструдере

В результате развития вычислительных средств, в настоящее время имеется возможность не только предварительно промоделировать поток полимера в канале шнека на основе существующих математических моделей (для уточнения геометрических форм канала и параметров оборудования), но и сформировать управляющее воздействие на основе рассчитанных параметров [1]. Для оптимального управления необходимо рассматривать процесс, как систему из многих переменных, взаимодействие которых полностью известно и может быть использовано в системе управления. В общем случае, моделирование экструзионного процесса затруднено многообразием конструктивного оформления экструдеров и различными свойствами полимеров, но при отладке модели на одном оборудовании, адаптировать результаты работы для иного оборудования будет проще.

Для моделирования процессов в одношнековом экструдере должны учитываться следующие особенности:

- модель должна быть динамической;

- необходимо моделирование фазового перехода экструдата из твердого в жидкое состояние;

- требуется моделирование потока неньютоновской жидкости;

- необходимо учитывать нелинейную зависимость вязкости полимера от температуры.

В работе использовались предположения, сделанные У. Дарнеллом и Э. Молом [1], которые первыми провели всесторонний анализ движения материала в одношнековых экструдерах:

- отдельные твердые частицы ведут себя подобно сплошной среде;

- твердая пробка находится в контакте со всей стенкой канала, то есть поверхностью цилиндра, телом шнека, активной стороной нарезки и пассивной стороной нарезки;

- глубина канала постоянна;

- твердая пробка движется как поршень;

- зазором между выступом нарезки шнека и цилиндром можно пренебречь.

Материал в шнеке перемещается вперед в результате движения поверхности шнека относительно поверхности цилиндра. Скорость движения полимера в твердой фазе в значительной мере определяется силами, действующими на границах твердых поверхностей. При любом движении со скольжением, когда действуют силы трения, происходит выделение тепла. Средняя температура Т нагрева поверхностного слоя при трении оценивается следующим эмпирическим соотношением:

(1)

где δ - коэффициент распределения теплоты между трущимися телами; f - коэффициент трения; k_σ - давление контакта; V - скорость скольжения; ρ - плотность материала; I - теплопроводность.

Скорость выделения тепла, обусловленного трением, равна произведению силы трения F_f на относительную скорость Dυ:

(2)

где F_n - нормальная сила; f - коэффициент трения.

Передача теплоты происходит во всех случаях, когда в теле существует температурный градиент. В данном случае рассматриваем нестационарную задачу. По закону Фурье, который лежит в основе всех расчетов теплопроводности, для изотропных материалов вектор теплового потока q пропорционален температурному градиенту:

(3)

где q - количество теплоты, проходящей через единичную поверхность, перпендикулярную направлению теплового потока; k - коэффициент теплопроводности. Полагая в уравнении энергетического баланса V = 0, получим:

(4)

Уравнение (4) представляет собой уравнение теплопроводности для изотропного твердого тела.

Если внутри изотропного тела имеется источник тепла, то уравнение (4) необходимо дополнить членом, учитывающим тепловыделение:

(5)

где - коэффициент температуропроводности; ∇² - оператор Лапласа в прямоугольной системе координат; G - интенсивность внутренних тепловыделений, отнесенная к единице объема; замена Cv на C_v в уравнении (5) возможна для несжимаемых твердых тел.

(6)

Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает большим набором решений одномерных задач, к которым принято сводить все многообразие задач, встречающихся в инженерной практике. В настоящее время получены аналитические решения для теплопроводности в плоской стенке, в цилиндре, в корпусе и в сфере.

Связь между компонентами тензора напряжений p_ij и тензора скоростей деформаций ε_ij определяется выражением:

(7)

В качестве реологического уравнения используется обобщенный степенной закон [2]:

(8)

Здесь η_a - эффективная вязкость, μ₀ - значение эффективной вязкости при (зависит от материала), T - абсолютная температура, T₀ - температура приведения, n - индекс течения (зависит от материала), I₂ - квадратичный инвариант тензора деформаций, определяемый следующим образом:

(9)

Уравнение энергетического баланса, составленное для установившегося режима в предположении, что все теплофизические характеристики не зависят от температуры, имеет вид:

(10)

где ρ - плотность расплава; c_p - теплоемкость расплава; T - температура расплава; k_m - коэффициент теплопроводности расплава.

Уравнения (1)-(10) положены в основу компьютерной модели движения полимера в канале экструдера.