П.6.2. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.

Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

где — произвольное число.

Сравнивая между собой свойства 2 и З, можно сказать, что операция нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимнообратны (знаки и взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

т.е.

где — некоторое число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

,

(1)

(2)

,

(3)

для произвольного интервала, не содержащего точки ,

(4)

,

(5)

, (6)

, (7)

,

(8)

,

(9)

,

(10)

.

(11)

Пример 1. Найти интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение. Во всех трех случаях нам придется воспользоваться одним и тем же табличным интегралом (10.7) от степенной функции, но при разных значениях .

а) При : .

б) При : .

в) При : .

Пример 2. Найти интегралы:

а) ; б) .

Решение. а) Так как то, используя свойство 4 и формулу (4) при , получаем

.

в) Поскольку , то используя свойство 4 и формулу (10) при :

.

Определение. Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5, называется методом разложения.

Пример 3. Используя метод разложения, найти интеграл:

.

Решение. Нахождение данного интеграла начинается с преобразования подынтегральной функции. Воспользуемся соответствующей формулой сокращенного умножения и последующим почленным делением числителя на знаменатель:

.

(см. табличные интегралы (2) и (3)). Обращаем внимание на то, что в конце решения записываем одну общую постоянную , не выписывая постоянных от интегрирования отдельных слагаемых. В дальнейшем мы будем опускать при записи постоянные от интегрирования отдельных слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один неопределенный интеграл. В окончательном ответе тогда будет одна постоянная.