Двойной интеграл

Старший преподаватель

Беженцева Т.Г.

Тюмень,2015
Содержание

1 Кратные интегралы......................................................................................................3

1.1 Двойной интеграл......................................................................................................3

1.2 Тройной интеграл.....................................................................................................4

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах...............................................5

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов............................7

Список используемой литературы

Кратные интегралы

Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d₁, d₂, ..., d_n. Выберем в каждой части точку Р_i.

Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P₁), f(P₂),…, f(P_n) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(P_i)ΔS_i:

, (1)

называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек P_i в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается

. (2)

Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями x = a, x = b ( a < b ), где φ₁(х) и φ₂(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:

Рис. 1

= (3)