Определение.

Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 480; Нарушение авторских прав

Если существует конечный предел интегральных сумм (11)

при

ë = max∆li

→ 0, причем этот предел не зависит от спосо-

ба разбиения дуги AB на n частичных дуг, а также произволь- ного выбора точек M(хi, уi, zi),тогда он называется криволиней- ным интегралом 2-го рода и обозначается символом

n−1

lim∑[P( xi

ë →0 i =0

, yi

, zi

)∆xi

+ Q( xi

, yi

, zi

)∆yi

+ R( xi

, yi

, zi

)∆zi ]=

= ∫ P( x , y , z)dx +Q( x , y , z)dy + R( x , y , z)dz .

AB

(12)

Из определения следует, что при изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2-го рода изменяет знак.

∫ Pdx + Qdy + Rdz = − ∫ Pdx + Qdy + Rdz .

AB BA

Остальные свойства криволинейного интеграла (КР) 2-го рода аналогичны свойствам криволинейных интегралов 1-го рода.

Вычисление КР 2-го рода также сводится к вычислению определенного интеграла. Для этого необходимо знание урав- нения дуги AB (рис. 5) в параметрической форме. Если дуга AB определена в плоскости x0y, тогда этот переход может быть осуществлен и при явном задании уравнения дуги AB.

Рассмотрим приложения кратных интегралов к решению задач физики и механики.

1). Вычисление массы заданной фигуры. Если подинте- гральная функция совпадает с плотностью массы фигуры, тогда

m = ∫∫ ñ( x , y)ds ,

m = ∫∫∫ ñ( x , y , z)dv ,

m = ∫ ñ( x , y , z)dl .

AB

(13)

2). Определение меры фигуры. Если подинтегральная функция равна единице, тогда

S D = ∫∫ ds , V = ∫∫∫ dv ,

LAB =

∫dl ,

(14)

D V AB

где SD – площадь области D, V – объем пространственного тела

V, LAB

– длина дуги AB.

3). Определение статических моментов и центра тяжести фигуры.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>

AB АС СB | S x , S y