AB АС СB

Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 466; Нарушение авторских прав

Вычисление КР сводится к вычислению определенного ин- теграла. Рассмотрим вычисление криволинейных интегралов 1-го рода для различных случаев задания уравнения дуги AB на плоскости x0y и пространстве.

1). Пусть дуга AB задана на плоскости x0y:

y = ϕ( x),

a ≤ x ≤ b , тогда dl =

1+ (ϕ′( x))2 dx , следовательно,

∫ f (x,y) dl = ∫ f ( x ,ϕ( x))

1+ (ϕ′( x))2 dx .

(8)

AB a

2). Дуга в пространстве AB задана в параметрической фор-

ме x = x(t ),

y = y(t ),

z = z(t ),

á ≤ t ≤ â ,

тогда

dl =

( x′t )

+ ( y′t )

â

+ (z′t )

dt , следовательно,

2 2 2

∫ f ( x,y , z) dl = ∫ f ( x(t ),y(t ), z(t ))

( x′t )

+ ( y′t )

+ (z′t )

Dt .

(9)

AB á

3). Дуга AB задана уравнением в полярных координатах

ñ = ñ(ϕ).

Воспользуемся формулами перехода в полярную си-

стему

x = ñcos(ϕ),

y = ñsin(ϕ),

причем

á ≤ ϕ ≤ â ,

тогда

dl =

ñ + (ñ′ϕ )

dϕ. Откуда следует, что

∫ f ( x , y)dl = ∫ f (ñcos(ϕ),ñsin(ϕ))

AB á

ñ + (ñ′ϕ )

dϕ.

(10)

Пусть на линии AB в пространстве (рис. 5) задано направ- ление. Точка A это начало, а точка B – конец линии. Элемент

дуги

∆li

= {∆xi ,∆yi ,∆zi }

в этом случае является векторной ве-

личиной. На линии AB определена также векторная функция

F ( P( x , y , z),Q( x , y , z), R( x , y , z)), т.е. в декартовой системе

F ( x , y , z)= P( x , y , z)i + Q( x , y , z) j + R( x , y , z)k .

После разбие-

ния дуги AB на n частей и выбора точки M(хi, уi, zi), скалярное

произведение векторов

F ( P( x , y , z),Q( x , y , z), R( x , y , z))

и dl

может быть записано в координатной форме. Тогда интеграль- ная сумма равна

n−1

∑ F ( P( xi , yi , zi ),Q( xi , yi , zi ), R( xi , yi , zi ))dli =

i =0

= ∑[P( xi , yi , zi )∆xi + Q( xi , yi , zi )∆yi + R( xi , yi , zi )∆zi ].

i =0

(11)

В результате предельного перехода

ë = max∆li → 0

при

условии непрерывности функции

F ( x , y , z)

интегральная сум-

ма (11) будет равна конечному значению.

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
	\|	Определение.