Определение.

Если существует конечный предел интегральных сумм при

ë = max∆d i

n−1

бора точек P(хi, уi, zi),тогда ó = lim∑ f ( xi

Def

n−1

∫∫∫ f ( x , y , z)dv = lim∑ f ( xi , yi , zi )∆vi .

V ë →0 i =0

Определение тройного интеграла предполагает, что инте- грируемая функция f(х, у, z)является ограниченной.

В соответствии с определением, если

f ( x , y , z)= 1, тогда

тройной интеграл равен объему цилиндрического тела, приве- денного на рис. 4. Тройной интеграл обладает свойствами, ана- логичными свойствам двойного интеграла. Рассмотрим вычис- лительную формулу тройного интеграла. Тройной интеграл не

зависит от способа разбиения V на n объемов. Разбиение V осуществляем плоскостями, параллельными координатным плоскостям. После выбора точки P(хi, уi, zi)(произвольно) и со-

n−1

ставления интегральной суммы

∑ f ( xi , yi , zi )∆xi ∆yi ∆zi , ее

i =0

слагаемые перераспределим следующим образом:

n−1

n1 n2 n3

∑ f ( xi , yi , zi )∆xi ∆yi ∆zi

i =0

j =0

k =0

Внутреннее суммирование производится по элементарным объемам, содержащимся в вертикальных столбиках с фиксиро-

ванным основанием

∆xi ∆y j , ( ∆xi ∆y j

z = z1 ( x , y)

и до

z = z2 ( x , y)

(рис. 4). Промежуточное сумми-

рование в (6) осуществляется по столбикам, которые сгруппи- рованы в плоскости, параллельные y0z.Эти столбики находятся

в пределах от

y = y1 ( x)

и до

y = y2 ( x)

(рис. 4). В этом случае

фиксированными являются

∆xi , которые выносятся за знак

суммы как общий множитель. Внешнее суммирование включа- ет в себя суммирование плоскостей со сгруппированными столбиками. Эти плоскости параллельны y0z.Указанные плос- кости находятся в пределах [a, b]. Индекс k в формуле (6) опре- деляет местоположение элементарного объема внутри столби- ка. Индекс j определяет местоположение столбика внутри плоскости со сгруппированными столбиками, параллельной плоскости y0z. Индекс i определяет местоположение указанных плоскостей со сгруппированными столбиками.

В результате предельного перехода

ë = max∆d i → 0

при

условии непрерывности подинтегральной функции интеграль- ная сумма стремится к конечному пределу, или значению трой- ного интеграла.

Таким образом, тройной интеграл может быть записан в следующем виде

b

∫∫∫ f ( x , y , z)dv = ∫ dx

y2 ( x )

∫

z2 ( x , y )

dy ∫ f ( x , y , z)dz .

V a y1 ( x )

z1 ( x , y )

Справа в (7) записан повторный интеграл, который есть со- вокупность трех определенных интегралов. Внутренний инте- грал по переменной z, при фиксированных x, y. Промежуточ- ный — по переменной y при x фиксированном, и внешний — по переменной x.

Методы вычисления определенных интегралов рассмотре- ны в контрольной работе по теме «Определенный интеграл».

Дана непрерывная функция трех пе- ременных f(х, у, z)(рис. 5), которая определена на линии AB. Линия AB произвольным способом разделена на

n частичных дуг длиною

∆li

i=1,… n). Внутри каждой дуги

∆li

M ( xi , yi , zi ), в которой вычис-

ляется значение функции f(хi, уi, zi)и

n−1

составляется интегральная сумма вида σ = ∑ f ( xi ,yi ,zi )∆li .

i =0

Если потребовать

ë = max | ∆li |→ 0, тогда число слагае-

мых в сумме неограниченно возрастает. Для непрерывных функций предел суммы равен конечному числу.