Замечания

Метод интегрирования по частям применяется при интегрировании следующих видов функций.

1. При интегрировании функций вида интегрирование по частям применяется 2 раза, что приводит к решению уравнения для получения конечного ответа.

Пример 9

Пусть .

Тогда последнее равенство может быть переписано в виде

Получим уравнение

Отсюда

2. Метод интегрирования по частям может быть использован при интегрировании функций , тогда , .

Пример 10

Рассмотрим получившийся интеграл.

: уравнение относительно J.

Ответ:

Пример 10 может быть решен методом замены.

Пусть , тогда .

При вычислении одного и того же интеграла разными методами могут получаться отличные друг от друга ответы. Здесь имеем две функции и . Однако

Предлагается проверить самостоятельно.

3. Необходимо иметь в виду, что применение метода интегрирования по частям приводит к частичному интегрированию, т.к. правая часть формулы (1) содержит интеграл. Но при правильном применении метода этот интеграл получается табличным или просто приводящимся к табличному.

Если в результате применения метода интегрирования по частям в правой части получается интеграл сложнее исходного, необходимо заново применить этот метод, разбив подынтегральное выражение на другие два множителя U и dV, из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой части.

Умения правильного использования этого метода приобретаются только в результате упражнений.

Ø Интегрирование дробно-рациональных выражений

1. .

2. , причем, как предполагалось выше, .

Обозначим: .

Сделаем замену переменных

, , ,

.

Имеем:

.

3. Пусть правильная дробь, т.е. m < n. Рассмотрим упрощенный вариант разложения многочлена на множители (полные способы разложения здесь не рассматриваются)

, т.е. n=5;

Тогда

.

Найдя коэффициенты А,В,С и D, мы придем к вычислению трех уже известных интегралов

.

Пример 11