Основные свойства неопределенного интеграла

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Справочный материал и пособие к практическим занятиям и СРС

для студентов 1 и 2 курсов

всех специальностей и форм обучения

Ø Первообразная и неопределённый интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на (a,b), если F^/(x)=f(x) на (a,b).

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается .

Основные свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3.

4.

5.

6. Если и U=U(x), где U(x)- непрерывно дифференцируемая функция, то

7. Если x=x(t) непрерывно дифференцируемая функция, то .

Таблица 1

Таблица простейших часто встречающихся интегралов

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

При применении свойств 6 и 7 полезно использовать табл. 2.

Таблица 2

Таблица основных дифференциалов

1. где С-константа.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7. 14.

8. 15.

Рассмотрим примеры нахождения неопределенного интеграла методом «подведения под знак дифференциала», т.е. будем использовать табл. 2.

Пример 1

.

Пример 2

.

Пример 3

.

Пример 4

.

Ø Интегрирование путем замены переменной

Один из наиболее распространенных методов, применяемых при вычислении неопределенных интегралов, метод замены переменных или подстановки.

Если известно, что , то

где f(t), u(x), u^/ (x) – непрерывны.

Способ подстановки состоит в том, что сообразно виду подынтегральной функции составляют вспомогательную функцию, подстановка которой в исходный интеграл приводит его к виду более удобному для интегрирования (часто табличному).

Рассмотрим примеры, уже решенные ранее:

Пример 1

Пример 2

.

Пример 3

.

Пример 4

.

Используем замену в более сложных примерах.

Пример 5

В этом случае используется форма подстановки, а именно , получим

и

Пример 6

Использование универсальной тригонометрической подстановки

.

Метод замены переменной является одним из общих методов интегрирования. Умения использовать такие подстановки, которые упрощают подынтегральные выражения, вырабатываются практикой. Общих указаний по выбору выгодной подстановки дать нельзя.

Ø Интегрирование по частям

Пример 7

.

Пример 8

.

Рассмотрим получившийся интеграл

Ответ: