Интегральные суммы

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть функция задана на сегменте , . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на частичных сегментов , , , . Точки , , , будем называть точками разбиения . Пусть - произвольная точка частичного сегмента , а - разность , которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента .

Определение. Число , где:

называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции , соответствующей разбиению сегмента и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах .

Геометрический смысл интегральной суммы – площадь ступенчатой фигуры.

Введем обозначение .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого положительного можно указать такое число , что для любого разбиения сегмента , для которого максимальная длина частичных сегментов меньше , независимо от выбора точек , на сегментах выполняется неравенство

, т.е. .

Определение.: Функция называется интегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при . Указанный предел называется определенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:

.

Числа и называются, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок – интервалом интегрирования. В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось , линии и , а также график функции . Обозначим через и соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте .

Определение: Суммы:

называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиения сегмента .

Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиения сегмента заключена между верхней и нижней суммой и этого разбиения.

Свойства верхних и нижних сумм:

1. Для любого фиксированного разбиения и для любого промежуточные точки на сегментах можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точки на сегментах можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам .

2. Если разбиение сегмента получено путем добавления новых точек к точкам разбиения этого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства и .

3. Пусть и - любые два разбиения сегмента . Тогда если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и , то и .

4. Множество верхних сумм данной функции для всевозможных разбиений сегмента ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.

Обозначим через точную нижнюю грань множества верхних сумм, а через - точную верхнюю грань множества нижних сумм .

Определение: Числа и называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции .

5. Пусть разбиение сегмента получено из разбиения добавлением к последнему новых точек, и пусть, если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и . Тогда для разностей и может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения , числа добавленных точек и точных верхней и нижней граней и функции на сегменте . Именно и .

6. Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу и от функции по сегменту являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при и, следовательно, :

, , и при этом .

2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение сегмента , для которого .

Определение: Число называется колебанием функции на сегменте .

Так как , то . Далее запишем в следующей форме:

.

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение сегмента , для которого .

Другими словами, необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является выполнение условия

, или , где .