ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ

Формула Ньютона-Лейбница .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции , осью ОХ и прямыми х = а, х = b (рис 1).

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу .

С точки зрения геометрии определенный интеграл – это площадь некоторой фигуры.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , (рис.2).

Решение: Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить правильно. Выполним чертеж (уравнение задает ось ОХ):
На отрезке график функции расположен над осью ОХ, поэтому:

Ответ: ед².

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью ОХ .

Решение: На отрезке график функции расположен над осью ОХ (рис.3), поэтому:

Ответ: ед² ед².

ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА: Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции (график функции выше графика функции ) , то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле: .

Пример 3.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями и .

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой (рис.4).

Рис. 4 Рис.5

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из ( ) необходимо вычесть .

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей обобщенной формуле получим:
Ответ: ед².

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение:

Искомая фигура ограничена прямой сверху и параболой снизу (рис.3). На отрезке , по соответствующей формуле получим:

Ответ: ед².

!!!!!!После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ (посчитать по клеточкам). Если ответ получился отрицательным, то задание решено некорректно!!!!!!!!!!!!!!!!!!